Suma recíproca igual a $1$

Question

Dada la ecuación $$1/v + 1/w + 1/x + 1/y + 1/z = 1,$$ donde todos los $v,w,x,y,z$ son enteros positivos. Una solución es la trivial $1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5$ . Para soluciones distintas con $v<w<x<y<z$ encontrar el mínimo de $v+w+x+y+z$ .

Answer 1

¿Cuál es el mínimo de $s:=x+y+z+u+v$ con sujeción a $x<y<z<u<v$ y $\frac1x+\frac1y+\frac1z+\frac1u+\frac1v=1$ ?

Desde $\frac12+\frac14+\frac17+\frac1{14}+\frac1{28}=1$ sabemos que $s\le 55$ . Por lo tanto, se trata de un problema finito. Una rápida comprobación por fuerza bruta de todas las posibilidades con $x+y+z+u+v<55$ revela que $$\tag{38} \frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac1{20}=1$$ con $s=38$ es el óptimo.

Las siguientes soluciones con sumas pequeñas son: $$\tag{43} \frac12+\frac14+\frac1{10}+\frac1{12}+\frac1{15}=1 $$ $$\tag{45} \frac12+\frac14+\frac1{9}+\frac1{12}+\frac1{18}= \frac12+\frac15+\frac1{6}+\frac1{12}+\frac1{20}=1 $$ $$\tag{50} \frac12+\frac14+\frac1{8}+\frac1{12}+\frac1{24}=1 $$

Answer 2

Si quiere encontrar el mínimo $v+w+x+y+z$ con sujeción a $\dfrac1{v}+\dfrac1{w}+\dfrac1{x}+\dfrac1{y}+\dfrac1{z}=1$ Aquí hay una manera.

Desde Cauchy-Schwarz tenemos $$\left(\sqrt{v}\cdot\dfrac1{\sqrt{v}}+\sqrt{w}\cdot\dfrac1{\sqrt{w}}+\sqrt{x}\cdot\dfrac1{\sqrt{x}}+\sqrt{y}\cdot\dfrac1{\sqrt{y}}+\sqrt{z}\cdot\dfrac1{\sqrt{z}}\right)\leq\sqrt{v+w+x+y+z}\cdot\sqrt{\dfrac1v+\dfrac1w+\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z}$$ A partir de esto, concluye que $$v+w+x+y+z\geq 25$$ Y tienes el golpe mínimo para $(5,5,5,5,5)$ .

Si queremos números distintos, tenemos entonces lo siguiente. (Claramente $25$ es un límite inferior) $$(2,4,10,12,15)$$ lo que suma $43$ .

Answer 3

Sospecho que $2,4,8,12,24$ con la suma $50$ será difícil de superar, pero no tiene una prueba (todavía).