Demuestra que
$$\sum_{i=0}^{n} {n \choose i}{2n \choose i} = {3n \choose n}$$
Hay un grupo de $3n$ niños, $n$ niños y $2n$ niñas. Queremos elegir $n$ niños. Esto se puede hacer de $\binom{3n}{n}$ maneras.
Vamos a contar de otra manera. Podríamos elegir $0$ niñas y $n-0$ niños, o $1$ niña y $n-1$ niños, o $2$ niñas y $n-2$ niños, y así sucesivamente hasta $n$ niñas y $n-n$ niños. Por lo tanto $$\binom{3n}{n}=\sum_{i=0}^n \binom{2n}{i}\binom{n}{n-i}.$$ Dado que $\binom{n}{n-i}=\binom{n}{i}$, esto nos da nuestra identidad.
Pista: Considera el coeficiente de $x^n$ en $$ (1+x)^{3n} = (1+x)^n(1+x)^{2n} $$ y usa un producto de Cauchy para el lado derecho
No estoy seguro de entenderlo, entiendo que el coeficiente de $x^n$ en ambos lados debe ser 3n, pero no entiendo los Productos de Cauchy, ¿el contador de la serie cambia o algo así?
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Ver también: Prueba algebraica de la identidad combinatoria $\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}\binom{2n}{n-r}=\binom{3n}{n}$