La colocación de las bolas no rojas es irrelevante... el problema se decide sólo por la colocación de las rojas.
Para hacer la primera parte, es más fácil trabajar a partir del evento complementario. La probabilidad de que una bola roja determinada vaya a una casilla distinta de la segunda es $\frac 34$ . Por lo tanto, la respuesta es $$1-\left( \frac 34\right)^2=\boxed {\frac 7{16}}$$
Para hacer la segunda, puede ser útil simplemente enumerar las posibles colocaciones de las dos bolas rojas. Dado que el segundo cubo debe contener una bola roja, sólo hay cuatro casos: $$(1,1,0,0)\quad (0,2,0,0)\quad (0,1,1,0)\quad (0,1,0,1)$$
Donde escribir, digamos, $(1,1,0,0)$ significa que los dos primeros recipientes tienen una bola roja cada uno y los dos segundos no tienen ninguna.
Obsérvese que la probabilidad de obtener $(0,2,0,0)$ es $\frac 1{16}$ ya que debemos tener las dos bolas rojas que van al segundo recipiente. La probabilidad de obtener, por ejemplo, $(1,1,0,0)$ es $\frac 18$ ya que podemos obtener esta configuración de dos maneras (o bien la primera bola roja va en el primer cajón y la segunda bola roja va en el segundo cajón, o bien la primera bola roja va en el segundo cajón y la segunda bola roja va en el primer cajón). Esto da otra forma de ver $\frac 7{16}$ como el resultado del primer problema, ya que $$\frac 18+\frac 1{16}+\frac 18+\frac 18=\boxed {\frac 7{16}}$$
De ello se desprende que la probabilidad condicional de que la primera bandeja tenga una bola roja (condicionada a que la segunda bandeja también la tenga) es $$\frac {1/8}{7/16}=\boxed {\frac 27}$$
Nota al margen: si se prefiere trabajar con escenarios equi-probables (no es mala idea) entonces hay que indicar la colocación de $r_1, r_2$ (las dos bolas rojas) por separado. Así, el escenario $(1,1,0,0)$ digamos, se convierte en dos escenarios, $(r_1,r_2,0,0)$ y $(r_2,r_1,0,0)$ . Se obtienen siete escenarios en los que la segunda bandeja contiene al menos una bola roja, cada uno de los cuales tiene una probabilidad $\frac 1{16}$ .
