Multiplicadores de Lagrange: Encuentre $\min$ de $f(x,y)=3(x+1) +2(y-1)$ sujeto a la restricción $x^2+y^2=4$

Question

Encontrar el valor mínimo de la función $f(x,y)=3(x+1) +2(y-1)$ con la condición de que $x^2+y^2=4$ .

El problema consiste en utilizar los multiplicadores de Lagrange. Al hacerlo obtuve el punto $(\frac 6{\sqrt{13}},\frac 4{\sqrt{13}})$ . Pero al comprobar si es un máximo he encontrado que el resultado no es concluyente. ¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Veamos. Escribir $\nabla f = \lambda \nabla g$ tenemos

$$3 = \lambda . 2x \ \ \text{ and } \ \ 2 = \lambda . 2y$$

El multiplicador $\lambda \neq 0$ y por lo tanto $x = 3/(2\lambda)$ y $y = 1/\lambda$ . Sustituyendo de nuevo en la restricción $g$ , $\displaystyle \frac{1}{4\lambda^2} ( 9 + 4) = 4$ y encontramos $\lambda = \pm \sqrt{13}/4$ . En el caso negativo $\lambda = -\sqrt{13}/4$ ,

$$f\left(-\frac{6}{\sqrt{13}},-\frac{4}{\sqrt{13}}\right) = 1 - 2\sqrt{13}$$

que también es el mínimo global de $f$ . Intuitivamente, esto es atractivo ya que $\nabla f = (3,2)$ , apuntando lejos de esta solución. Más formalmente, tenemos que analizar la matriz hessiana, como se indica en una de las otras respuestas.

Answer 2

Escribe: $f(x,y) = 3x+2y + 1$ . Para una respuesta rápida, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $|3x+2y| \leq \sqrt{3^2+2^2}\sqrt{x^2+y^2} = 2\sqrt{13}$ . Así:

$-2\sqrt{13}\leq 3x+2y \leq 2\sqrt{13} \to 1-2\sqrt{13} \leq f(x,y) \leq 1+2\sqrt{13}$ .

Answer 3

$$minimize \hspace{3mm} 3(x+1) + 2(y-1)$$ $$s.t. \hspace{3mm} x^2+y^2=4.$$

La función lagragiana es $\mathcal{L} = 3(x+1) + 2(y-1) + \lambda (x^2+y^2-4)$ . Así,

$$\frac{\partial\mathcal{L} }{\partial x} = 3 + 2\lambda x = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{-3}{2x},$$ y

$$\frac{\partial\mathcal{L} }{\partial y} = 2 + 2\lambda y = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{-2}{2y}.$$ Entonces, $x = \frac{3y}{2}$ .

Sustituyendo en la restricción, $\frac{9y^2}{4}+ y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm \frac{4}{\sqrt{13}},$ y $x = \pm \frac{6}{\sqrt{13}}.$ Tenemos dos puntos críticos.

Para $(x,y) = (\frac{6}{\sqrt{13}},\frac{4}{\sqrt{13}}), \lambda = -\sqrt{13}/4$ . Para $(x,y) = (-\frac{6}{\sqrt{13}},-\frac{4}{\sqrt{13}}) , \lambda = \sqrt{13}/4$ .

El hessiano es

\begin{equation} H = \left [ \begin{array}{cc} 2\lambda & 0 \\ 0 & 2\lambda \\ \end{array} |derecho] \y

Para $\lambda = \sqrt{13}/4$ el hessiano es una matriz definida positiva, y para $\lambda = -\sqrt{13}/4$ El hessiano es una matriz definida negativa (no necesitamos analizar el hessiano en el espacio tangente). Por lo tanto, tenemos un punto mínimo y un punto máximo.

Sustituyendo ambos puntos en la función de costes $f(x,y)$ que tenemos,

$f(\frac{6}{\sqrt{13}},\frac{4}{\sqrt{13}}) \approx 8.2111$ (máximo global).

$f(-\frac{6}{\sqrt{13}},-\frac{4}{\sqrt{13}}) \approx -6.2111$ (mínimo global).