Problema de Monty Hall con probabilidades desiguales en las puertas

Question

En el problema convencional de Monty Hall se supone que la probabilidad de que el coche se sitúe detrás de cualquiera de las tres puertas es la misma (a saber, $\frac{1}{3}$ ). (En otras palabras, el anfitrión no tiene un sesgo inherente de colocar el coche detrás de una puerta frente a las otras dos). Pero ¿qué ocurre si las probabilidades de que el coche esté detrás de las puertas 1, 2 o 3, con probabilidades $p_1, p_2$ y $p_3$ respectivamente, son tales que la suposición $p_1 = p_2 = p_3$ no es necesariamente cierto.

Para comprobar si el cambio sería beneficioso, decidí experimentar con python. Probé a cambiar cada vez, a no cambiar ninguna vez, y a decidir aleatoriamente si cambiar un millón de veces cada una. Para cada opción, utilicé python para generar tres probabilidades aleatorias (técnicamente pseudo-aleatorias), y luego llevé a cabo el experimento. (Me ahorraré los detalles de la programación).

Los resultados de cada opción que obtuve fueron muy parecidos a $0.5$ . Esto significa que no importa si cambiamos, no cambiamos o decidimos cambiar al azar. Pero lo más sorprendente es que, dadas tres puertas con probabilidades desiguales de tener el coche detrás, la probabilidad de ganar el coche es $0.5$ (suponiendo que el concursante elija al azar). ¿Hay alguna justificación matemática para esto? ¿Es correcta mi interpretación de los resultados?

Edit-- Aquí está el fragmento de código para generar probabilidades aleatorias que he utilizado:

def prob_gen(): #Generates random probabilities
    prob_a = round(random.uniform(0, 1), 4)
    prob_b = round(random.uniform(0, 1 - prob_a), 4)
    prob_c = round(1 - (prob_a + prob_b), 4)
    return [prob_a, prob_b, prob_c]

El código completo está aquí: https://www.pastiebin.com/5a4d75a3e880e

Answer 1

Esto es sólo un artefacto de la forma en que generó al azar $p_1$ , $p_2$ y $p_3$ . Tenga en cuenta que generar aleatoriamente estas tres probabilidades y luego utilizarlas para elegir la puerta ganadora es equivalente a utilizar simplemente el valor medio generado aleatoriamente de cada una de ellas como sus probabilidades para elegir la puerta ganadora. Ha elegido $p_1$ uniformemente entre $0$ y $1$ por lo que su valor medio es $1/2$ . A continuación, eligió $p_2$ uniformemente entre $0$ y $1-p_1$ . Como este límite es lineal en $p_1$ y el valor medio de $p_1$ es $1/2$ el valor medio de $p_2$ es $1/4$ . Por último, el valor medio de $p_3$ es $1-1/2-1/4=1/4$ .

Así que lo que has hecho es completamente equivalente a ejecutar el juego con $p_1=1/2$ , $p_2=1/4$ y $p_3=1/4$ . Dado que ha recogido sus datos basándose en la suposición de que el jugador siempre elige primero la puerta 1, eso significa que tiene una $1/2$ probabilidad de acertar inicialmente, por lo que existe una $1/2$ posibilidad de que no deban cambiar.

Answer 2

En su configuración, la probabilidad de que el premio esté detrás de la puerta $a$ es $E(p_1) = \frac{1}{2}$ y también asumes que empiezan delante de la puerta $a,$ por lo que sí existe una $1/2$ probabilidad de obtener el premio independientemente de si se cambia o no.