Entender cómo encontrar la solución general de una EDP utilizando el método de las características

Question

He estado intentando y no he conseguido entender cómo encontrar la "solución general" para las EDP, como en una respuesta con una función arbitraria $F(x,y,u)$ para una EDP sin condiciones de contorno. Entiendo el concepto, pero no sé cómo obtener esta función arbitraria.

Ejemplo 4 : Para la PDE $$yu\frac{\partial u}{\partial x} - xu\frac{\partial u}{\partial y} = x-y,$$ las ecuaciones características $$\frac{dx}{d\tau} = yu,\quad \frac{dy}{d\tau} = - xu,\quad \frac{du}{d\tau} = x-y,$$ puede reordenarse para dar [ Ejercicio ] $$\frac{d}{d\tau}(x^2+y^2) = \frac{d}{d\tau}(u^2+2x+2y) = 0.$$ Se deduce que la solución general es $$u^2 = -2x-2y + F(x^2+y^2)$$ donde $F$ es una función arbitraria.

En este ejemplo, me cuesta entender dónde está el $F(x^2 + y^2)$ ha venido. ¿Por qué es $(x^2 + y^2)$ en el argumento? He probado a cambiar las variables pero parece demasiado complicado para algo así.

Un segundo ejemplo es este:

Ejemplo 5 : La PDE $$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 1,$$ tiene la solución general $$u = \frac{x+y}{2} + F(x-y)$$ donde $F$ es una función arbitraria.

Answer 1

$$yu\frac{\partial u}{\partial x} - xu\frac{\partial u}{\partial y} = x-y,$$ las ecuaciones características $$\frac{dx}{d\tau} = yu,\quad \frac{dy}{d\tau} = - xu,\quad \frac{du}{d\tau} = x-y,$$ Además, puedes reordenar el conjunto de ecuaciones como : $$\frac{dx}{yu} = \frac{dy}{-xu} = \frac{du}{x-y} $$ La ecuación de una primera familia de curvas características viene de : $$\frac{dx}{yu} = \frac{dy}{-xu} \quad\to\quad xdx+ydy=0 \quad\to\quad x^2+y^2=c_1$$ La ecuación de una segunda familia de curvas características proviene de : $\frac{dx}{yu} = \frac{dy}{-xu} = \frac{dx+dy}{yu-xu}$ $$\frac{dx+dy}{(y-x)u}=\frac{du}{x-y} \quad\to\quad udu+dy+dx=0 \quad\to\quad u^2+2(y+x)=c_2$$ Esto es válido para cualquier $c_1$ y $c_2$ en las curvas características. En otros lugares, $c_1$ y $c_2$ están relacionados en la forma de $\Phi(c_1,c_2)=0$ cualquier función diferenciable $\Phi$ de dos variables. O en la forma de una relación equivalente $c_1=f(c_2)$ o $c_2=F(c_1)$ . Así, una forma de la solución general es : $$u^2+2(y+x)=F(x^2+y^2)$$ cualquier función diferenciable $F$ . $$u(x,y)=\pm\sqrt{-2(x+y)+F(x^2+y^2)}$$ Con el mismo método, resolver la otra EDP es aún más sencillo.