Entendiendo una proposición del libro de Zeidler sobre el análisis funcional

Question

En mi libro sobre el análisis funcional de Zeidler hace una importante afirmación que

Dejemos que $M \subset \mathbb{X}$ , donde $\mathbb{X}$ es un espacio normado, entonces

1. $M$ está cerrado
2. $\forall u_n \in M, \forall n$ , $u_n \to u$ como $n \to \infty$ donde $u \in M$

A continuación, pasa a demostrarlo utilizando algún lema de convergencia de la secuencia de Cauchy en el espacio de Banach.

Para mí esta afirmación es muy fuerte. Si $\mathbb{X}$ es un espacio normado, es decir, un conjunto ( $\mathbb{X}, +, \times$ ) que tiene una norma $|\cdot|$ , entonces todos sus subconjuntos son cerrados.

Tengo tres preguntas:

1. ¿Importa si $\mathbb{X}$ en consideración es de carácter finito o infinito

2. ¿Hay algún ejemplo trivial que ilustre esta propiedad?

3. ¿Hay una forma intuitiva/pictórica de pensar en esta afirmación?

Answer 1

Esto es lo que pienso de la reclamación en realidad dijo (o al menos, quiso decir):

Para $M \subset \Bbb X$ donde $\Bbb X$ es un espacio normado, lo siguiente es equivalente:

1. $M$ está cerrado
2. Para todas las secuencias $(u_n)\subset M$ , $u_n \to u$ como $n \to \infty$ implica que $u \in M$ .

Esto es muy diferente de lo que has afirmado.