Encuentre $xyz$ si $x^2+2y^2+2z^2-2x-6y-10z+2xy+2yz+14=0$

Question

La pregunta es

Encuentre la suma de todos los valores posibles de $xyz$ dado que $x, y, z\in \Bbb Z$ satisfaciendo $$x^2+2y^2+2z^2-2x-6y-10z+2xy+2yz+14=0.$$

Algunas reflexiones hasta ahora:

Obviamente $x$ está en paz. Supongo que $x=2k$ pero no sé cómo proceder. Intenté completar cuadrados y se me complicó: $$(x+y-1)^2+(y+z+4)^2+(z-9)^2=82.$$

WolframAlpha da $48$ conjunto de soluciones, así que creo que hay formas de calcular suma de todos los valores posibles de $xyz$ sin encontrar todas las soluciones.

Answer 1

Completando las casillas: $$(x+y-1)^2+(y+z-2)^2+(z-3)^2=0 \Rightarrow \\ \begin{cases}x+y-1=0\\ y+z-2=0\\ z-3=0\end{cases} \Rightarrow \\ (x,y,z)=(2,-1,3) \Rightarrow xyz=-6.$$

Answer 2

Completar los cuadros fue una gran idea. Ahora escribe $82$ como la suma de tres cuadrados enteros. No hay muchas formas de hacerlo. Cada forma te da un sistema lineal para $x,y,z$ que puede o no tener soluciones enteras.