Demuestre que la secuencia converge a 0

Question

Dada una secuencia $\{\frac{(-1)^n}{n}\}$ mostrar directamente de la definición que converge a $0$ .

La definición de convergencia de una secuencia es:

Una secuencia $\{p_n\}$ converge si para cada $\epsilon>0$ existe un $N\in\mathbb N$ para que $n\geq N \implies d(p_n,p)<\epsilon$

Mi enfoque

Lo que queremos mostrar es:

Por cada $\epsilon>0$ existe un $N\in\mathbb N$ para que $$n\geq N \implies d(\frac{(-1)^n}{n},0)<\epsilon$$

Después de este paso la solución que tengo deja de tener sentido

Tome $N$ tan grande que $N>\frac2\epsilon$ . (Ni idea de por qué $2$ ¿se elige? Y por qué esto funciona) Entonces $n\geq N \implies | \frac{(-1)^n}n | < \frac2n< \frac2N < \epsilon$ (Ni idea de por qué esto es cierto o progresa lógicamente)

Editar:

Podría ser 2/n porque $| \frac{(-1)^n}n | =| \frac{1}n |$ necesitamos al menos 2 para que $| \frac{1}n |< 2/n$

Answer 1

Queremos demostrar que para cualquier $\epsilon > 0$ existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$ , $|\frac{(-1)^n}{n} - 0 | < \epsilon$ . Observando que $|\frac{(-1)^n}{n} - 0 | = |\frac{(-1)^n}{n} | = \frac{|(-1)^n|}{|n|} = \frac{1}{n}$ tenemos que elegir $N$ tal que $\frac{1}{n} < \epsilon$ o de forma equivalente, $n > \frac{1}{\epsilon}$ para todos $n \geq N$ . Una opción es $N=ceil(\frac{1}{\epsilon})+1$ . Otra es $n \geq ceil(\frac{2}{\epsilon})$ - las posibilidades son infinitas.

Answer 2

Las desigualdades del último paso son sencillas de explicar. En primer lugar, tenemos la desigualdad $$\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|<\frac2n.$$ Se trata de una desigualdad bastante sencilla, ya que debes saber que $$\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n$$ y como $\frac1n > 0$ es evidente que $\frac 2n > \frac 1n$ .

La segunda desigualdad también es sencilla, es decir, $$\frac2n \leq \frac 2N.$$ (sí, debería haber un $\leq$ signo. Esto se deduce del hecho de que $n\geq N$ lo que significa que $\frac 1n \leq \frac 1N$ (ya que en $\frac 1n$ , estás dividiendo $1$ por un número mayor).

La tercera desigualdad, $$\frac 2N<\epsilon,$$ viene directamente de $$N>\frac2\epsilon$$ (basta con multiplicar la desigualdad por $\epsilon$ y dividir por $N$ .