¿Cómo de abelianos son los grupos nilpotentes?

Question

No es raro leer que "los grupos nilpotentes son 'cercanos a los abelianos'". 1,2 ¿Se puede precisar este sentimiento en el sentido de la La definición de Turán y Erdős de "la probabilidad de que dos elementos de $G$ ir al trabajo," discutido en la pregunta de MO, " Medidas de no abelianidad "?

Más concretamente,

Q . ¿Cuál es la probabilidad de que dos elementos elegidos al azar de un grupo nilpotente conmuten? ¿Cuál es el máximo y el mínimo de todos los grupos nilpotentes?

Por ejemplo, el nilpotente Grupo de cuaterniones $Q_8$ es $62.5\%$ abeliana, si he calculado bien:

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          $Q_8$ : $24$ de $64$ las entradas no son abelianas. Por lo tanto, es $40/64=62.5\%$ abeliana.

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Actualización . @BenjaminSteinberg observó inmediatamente que el $Q_8$ ejemplo establece el límite superior de $5/8$ y, poco después, la literatura citada que demuestra que no existe un límite inferior positivo.

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1 El compañero de matemáticas de Princeton "Teorema del crecimiento polinómico de Gromov", p.702.: 'los grupos nilpotentes son "cercanos a los abelianos"'.

2 Wikipedia: Grupo nilpotente : 'un grupo nilpotente es un grupo "casi abeliano"'.

Answer 1

He aquí algunas observaciones generales (relativas a los grupos finitos). Los resultados relevantes se pueden encontrar en su mayoría en el artículo de 2006 del Journal of Algebra, escrito por Bob Guralnick y por mí (en uno de los comentarios de Benjamin Steinberg se da un enlace a una versión preimpresa). Un artículo especial $p$ -grupo de orden $p^{3}$ tiene probabilidad de conmutación $\frac{p^{2}+p-1}{p^{3}},$ que es sólo un poco más que $\frac{1}{p},$ así que según esa medida, para un primo grande $p,$ tal grupo está muy lejos de ser abeliano. El comportamiento asintótico del número de $p$ -grupos de orden $p^{n}$ fue demostrada por C. Sims (y tal vez G. Higman) que es muy parecida a la del número de $p$ -grupos de clase de nilpotencia $2$ y el orden $p^{n},$ por lo que quizás no sea sorprendente que $p$ -grupos de clase $2$ ya exhiben una alta medida de no conmutatividad (esto también es confirmado por un teorema de P. Neumann, del que Guralnick y yo no éramos conscientes cuando escribimos nuestro artículo, que fue señalado por un comentario de Sean Eberhard a una pregunta anterior de MO sobre este tema -de hecho, la pregunta mencionada en el primer comentario de Joseph O'Rourke). Nótese que el mayor subgrupo abeliano de un extraespecial $p$ -grupo de orden $p^{2n+1}$ tiene orden $p^{n+1},$ que no es mucho más que la raíz cuadrada del orden del grupo.

Pero quizás estos ejemplos ilustran que la probabilidad de conmutación es una medida demasiado cruda de la no belianidad, ya que un grupo de clase de nilpotencia $2$ no está, en cierto modo, muy lejos de ser abeliana.