¿Para qué valores reales de $x$ hace la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n-1}}(x+2)^n $ ¿converger?

Question

¿Para qué valores reales de $x$ hace la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n-1}}(x+2)^n$ ¿converger?

Mi intento: $-1< (x+2)^n < 1$ . Ahora, $-3 < x < -1$ por lo que, por la prueba de Leibniz, la serie dada convergerá en $-3 <x<-1$ .

¿Es esto correcto?

Answer 1

HINT

Por prueba de proporción

$$\left| \frac{(n+1)(x+2)^{n+1}}{5^{n}}\frac{5^{n-1}}{n(x+2)^n}\right|=\frac{n+1}{5n}\left|x+2\right|\to\frac{1}{5}\left|x+2\right|$$

entonces la serie converge para $|x+2|<5 \implies -7<x<3$ .

Entonces comprueba por separado los casos $x=-7$ y $x=3$ .