Aplicación del teorema del valor intermedio; demostrar que el rango de la función es siempre positivo

Question

Teniendo en cuenta que:

1) $f(x)$ es continua para todo $x$

2) pasa por el punto $(1,2)$ es decir $f(1) = 2$

3) $f(x) \neq x$ para todos $x$

Demostrar que $f(x) > x$ para todos $x$

Creo que estoy en la dirección correcta pero, por favor, corregidme si me equivoco. Supongamos que $f(x)$ es en realidad $0$ para todos $x$ . Esto contradice que $f(1) =2$ (dado). Supongamos que $f(x)$ no es positivo para todos los $x$ . Si este es el caso, entonces $x_0$ existe tal que $x_0 \neq 1$ y $f(x_0) = x_0 - c$ donde $c > 0$ . $\quad f(x_0)$ también es continua porque $c$ es una constante y, por tanto, también continua, por lo que, por supuesto, $f(x_0) = x_0 - c$ también es continua. Como $x_0 \neq 1$ tenemos 2 puntos diferentes en $x$ eje: $1$ y $x_0$ . Según el teorema del valor intermedio, debe haber un $x_1$ entre $f(1)$ y $f(x_0)$ tal que $f(x_1) = x_1$ . Sin embargo, esto contradice las condiciones dadas que $f(x) \neq x$ . Así, $f(x) > x$ para todos $x$ .

Especialmente no estoy seguro de si es mejor definir una función de ayuda $E(x)=f(x) -c$ o dejar $f(x_0) = x_0 - c$ .

Answer 1

La función de ayuda más limpia es $$ g(x) = f(x)-x $$ Usted sabe inmediatamente que

• 1) $g(x)$ es continua, ya que es el sujm de dos funciones continuas.

• 2) $g(1)=1$ desde $ f(1)=2$

• 3) Para todos $x$ , $g(x) \neq 0$ desde $f(x) \neq x$ .

$g(1) > 0$ . Supongamos que para algunos $x_0 >1$ que $g(x_0) \leq 0$ . entonces el teorema del valor intermedio dice que en algún momento $x_1$ en el intervalo $[1,x_0]$ , $g(x_1) = 0$ , contradiciendo (3). Del mismo modo, si para algún $x_0 < 1$ que $g(x_0) \leq 0$ Entonces hay de nuevo algún punto $x_1$ en el intervalo $[x_0,1]$ , de tal manera que $g(x_1)=0$ , que es la misma contradicción.

Así que $g(x)$ nunca es negativo o cero, y por lo tanto $f(x)$ nunca es menor o igual que $x$ .