A continuación escribiré $\mathbb{R}^{\infty}$ y $c_{00}$ para referirse a los siguientes conjuntos:
$\mathbb{R}^{\infty} = \left\{ \ x = ( x^{(1)}, x^{(2)}, x^{(3)}, \ldots, x^{(k)}, \ldots ) \mid x^{(k)} \in \mathbb{R} \text{ for all } k \in \mathbb{N} \ \right\}$
$c_{00} = \left\{ \ x = ( x^{(1)}, x^{(2)}, x^{(3)}, \dots, x^{(k)}, \dots ) \in \mathbb{R}^{\infty} \ | \ \exists K \in \mathbb{N} \mathrm{\ such\ that\ }x^{(k)}=0\mathrm{\ for\ all\ }k>K \ \right\}$
La norma que estoy considerando es:
$\|\cdot\|_{1}$ definido por $||x\|_1 := \sum\limits_{k=1}^\infty | x^{(k)} |$
está muy claro que $(c_{00}, \|\cdot\|_1)$ no está completa.
PREGUNTA: ¿Cuál es la terminación del espacio vectorial $(c_{00}, \|\cdot\|_1)$ ?
Nota: Cuando digo terminación, me refiero a un espacio de Banach $(X, \|\cdot\|_X)$ (también conocido como espacio vectorial completo normado), donde:
(a) $c_{00} \subseteq X \subseteq \mathbb{R}^\infty$
(b) $\|\cdot\|_X$ extiende $\|\cdot\|_1$ tal que $\|x\|_X = \|x\|_1$ para todos $x \in c_{00}$
(c) $c_{00}$ es denso en $X$ (IE: $\operatorname{cl}(c_{00}) = X$ en $(X, \|\cdot\|_X)$ )
$\ $
Creo que la finalización de $(c_{00}, \|\cdot\|_1)$ es el espacio vectorial $(\ell_1, \|\cdot\|_1)$ donde $\ell_1$ es el siguiente conjunto:
$$\ell_1 = \left\{ \ x = ( x^{(1)}, x^{(2)}, x^{(3)}, \ldots, x^{(k)}, \ldots ) \in \mathbb{R}^{\infty} \mid \|x\|_1<\infty \text{ and } \lim\limits_{k \to \infty}\{x^{(k)}\} = 0 \ \right\}$$
Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrarlo. Y es muy probable que ni siquiera sea correcto. Además, ni siquiera estoy seguro de que $(\ell_{1}, ||\cdot||_{1})$ está completo.
¿Puede alguien indicarme la dirección correcta?
