He estado intentando jugar con el producto: $$\prod_{p \text{ prime}}\frac{1}{1-(-p)^{-1.5}}$$ Donde el producto recorre todos los números primos. El producto es similar en apariencia al famoso producto de Euler para la función zeta, evaluado en $1.5$ : $$ \prod_{p \text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-1.5}}=\zeta(1.5)$$
Sin embargo, el signo de $p$ se cambia, así que en lugar de quedarse en los reales, como hace la función zeta, este nuevo producto entra en los números complejos. He intentado plantearlo de forma interesante, sin embargo mis resultados parecen diferir mucho de los datos numéricos, por lo que me gustaría saber dónde está el problema y si se conoce una respuesta. Mi trabajo se basa en gran medida en la derivación de la fórmula del producto de Euler:
Empezamos por definir: $$\zeta_{\mathbb{Z}}(s)=\ldots+(-3)^{-s}+(-2)^{-s}+(-1)^{-s}+1^{-s}+2^{-s}+3^{-s}+\ldots$$ Ahora, si multiplicamos por $(-2)^{-s}$ obtenemos: $$ (-2)^{-s}\zeta_{\mathbb{Z}}(s)=\ldots+6^{-s}+4^{-s}+2^{-s}+(-2)^{-s}+(-4)^{-s}+(-6)^{-s}+\ldots$$ $$= \ldots+(-6)^{-s}+(-4)^{-s}+(-2)^{-s}+2^{-s}+4^{-s}+6^{-s}+\ldots$$ Y restando, obtenemos: $$ \left( 1-(-2)^{-s} \right)\zeta_{\mathbb{Z}}(s)=\ldots+(-5)^{-s}+(-3)^{-s}+(-1)^{-s}+1^{-s}+3^{-s}+5^{-s}+\ldots$$ Del mismo modo, multiplicando por $\left(1-(-p)^{-s} \right)$ eliminamos todos los múltiplos de $p$ Así que multiplicando por $\left(1-(-p)^{-s} \right)$ para todos los números primos, nos deshacemos de todo excepto de $(-1)^{-s}+1^{-s}$ . Así tenemos: $$ \prod_{p \text{ prime}}\left( 1-(-p)^{-s} \right) \cdot \zeta_{\mathbb{Z}}(s)=(-1)^{-s}+1^{-s}=(-1)^{-s}+1$$ Así, siempre que $(-1)^{-s}+1$ no es igual a cero, podemos decir: $$ \prod_{p \text{ prime}}\left(\frac{1}{ 1-(-p)^{-s} }\right)=\zeta_{\mathbb{Z}}(s)\cdot \frac{1}{(-1)^{-s}+1}$$
Ahora, por otro lado, por definición, tenemos: $$ \zeta_{\mathbb{Z}}(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{n^{-s}}+\sum_{n=1}^{\infty}{(-n)^{-s}} =\sum_{n=1}^{\infty}{n^{-s}}+(-1)^{-s}\sum_{n=1}^{\infty}{n^{-s}}$$ $$ =\left( 1+(-1)^{-s} \right)\sum_{n=1}^{\infty}{n^{-s}}=\left( 1+(-1)^{-s} \right)\zeta(s)$$
Por lo tanto, tenemos: $$ \prod_{p \text{ prime}}\left(\frac{1}{ 1-(-p)^{-s} }\right)=\zeta_{\mathbb{Z}}(s)\cdot \frac{1}{(-1)^{-s}+1}= \left( 1+(-1)^{-s} \right)\zeta(s)\cdot \frac{1}{(-1)^{-s}+1}=\zeta(s)$$
Conectando $s=1.5$ obtenemos: $$\prod_{p \text{ prime}}\left(\frac{1}{ 1-(-p)^{-1.5} }\right)=\zeta(1.5)$$
La razón por la que no me creo este resultado es porque es un número totalmente real, y además WolframAlpha me dice que el producto sobre el primer $50,000$ primos es aproximadamente $0.62+0.68i$ .
Mi pregunta se extiende también a los valores de $s$ que no sea $1.5$ . Cuando $s$ es un número entero par, la fórmula del producto es idéntica a la del producto de Euler, por lo que está claro que el producto es igual a la función zeta. Cuando $s$ es un entero impar, mi técnica de análisis no se aplica porque $(-1)^{-s}+1$ sí es igual a cero en este caso, y de hecho el producto ciertamente no es igual a la función zeta. Por ejemplo (según WolframAlpha): $$ \prod_{p \text{ prime}}\left(\frac{1}{ 1-(-p)^{-3} }\right) = \frac{\pi^6}{945 \zeta(3)}\neq \zeta(3) $$
Mi pregunta es, ¿qué pasa con todos los valores no enteros (por ejemplo $1.5$ )? No encuentro ningún problema con mi trabajo, sin embargo, gran parte de él es informal y nunca he tomado un curso de análisis complejo (que supongo que ayudaría). Nada de esto es ningún tipo de tarea; es sólo una curiosidad. Se agradece cualquier ayuda.
