Isomorfismo de productos tensoriales

Question

$$\text{Prove true or false:}\quad M \bigotimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{21} \cong (M/3M) \bigoplus (M/7M)$$

$M$ es un grupo abeliano, por lo que a $\mathbb{Z}$ módulo He intentado crear homomorfismos con la propiedad universal del producto tensorial para mapas bilineales y demostrar que son inversos entre sí pero no consigo el isomorfismo deseado, aún así no sé si la afirmación es cierta.

He intentado crear mapas, por ejemplo uno que envía $(m+3M,m_1 + 7 M)$ a $(m m_1 \bigotimes 1 + 21 \mathbb{Z})$ y uno que envía $(m \bigotimes x+21\mathbb{Z})$ a $(xm + 3M, 1 +7M)$ .

Answer 1

Ver que $\mathbb{Z}_{21}=\mathbb{Z}_3\oplus \mathbb{Z}_7$ .

Como producto tensorial distribuye con suma directa, $$M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_{21}=M\otimes_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_3\oplus \mathbb{Z}_7)=(M\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}_3)\oplus (M\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}_7)$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?