Hace poco me topé con este problema realmente interesante:
Supongamos que tenemos una fracción $\frac{a}{b}$ donde $a,b \in \mathbb{N}$ y sabemos que la fracción decimal de $\frac{a}{b}$ tiene la secuencia numérica $7143$ en algún lugar de los decimales. Demuestra que $b > 1250 $ .
Esta pregunta forma parte de el Concurso Nacional de Matemáticas 2015, segunda ronda . El concurso finalizó el 1 de septiembre de 2015.
Se agradecerá cualquier tipo de ayuda.
El truco está en darse cuenta de que $7\times0.7143=5.0001$ .
Primero vamos a multiplicar por $10^n$ para desplazar el decimal a la derecha - por lo tanto, para algunos enteros $k$ y $n$ y el número real $c\in[0,1)$ podemos escribir
$$\frac{10^na}{b}=k+0.7143+0.0001c$$
Ahora multiplique por nuestro número mágico ¡!
$$7\times\frac{10^na}{b}=7k+5.0001+0.0007c$$
Por lo tanto,
$$7(10^na-kb)-5b=(0.0001+0.0007c)b$$
El lado izquierdo es un número entero, por lo que existe $m\in\mathbb{Z}$ tal que
$$m=(0.0001+0.0007c)b$$
Desde $0\le c<1$ tenemos
$$0.0001 b\le m<0.0008b$$
Además, como $b\in\mathbb{N}$ tenemos $$0<0.0001b\le m$$ así que porque $m$ es un número entero, $$1\le m<0.0008b$$ dando $1250<b$ como se desee.
Primero multiplique a por una potencia de 10 de forma que 7143 venga justo después del punto decimal, y luego reste un múltiplo de b de forma que la fracción decimal comience por $0.7143$ . La afirmación que tenemos que demostrar es entonces que el intervalo $[0.7143,0.7144)$ no contiene ningún racional con denominador $\le 1250$ .
Las fracciones continuas para $0.7143$ y $0.7144$ son $[0;1,2,1,1,1428]$ y $[0;1,2,1,1,178]$ por lo que la expansión de la fracción continua para cada número de este intervalo tendrá la forma $[0;1,2,1,1,n,\ldots]$ donde $178\le n\le 1428$ y puede haber o no más términos después de la $n$ .
Si trabajamos $[0;1,2,1,1,n]$ como una fracción ordinaria obtenemos $\frac{5n+3}{7n+4}$ que (al ser una aproximación de fracción continua) está siempre en términos mínimos.
Cuando $n>178$ el denominador de esto es al menos $7\cdot 179+4=1257$ . Como los denominadores de las fracciones continuas aproximadas siempre aumentan, obtenemos $b \ge 1257$ .
Por otro lado, podríamos tener $n=178$ si hay un término después de $n$ en la continua expansión de la fracción. Pero la fracción más sencilla que podemos hacer entonces corresponde a $n=178.5$ , lo que haría la siguiente aproximación $\frac{5\cdot 178.5+3}{7\cdot 178.5+4}=\frac{1791}{2507}$ también con un gran denominador.
Al multiplicar $a$ con una potencia de $10$ si es necesario, podemos suponer que $1743$ se produce inmediatamente después del punto decimal, y al subtactar un múltiplo de $b$ de $a$ podemos suponer que de hecho $\frac ab=0.1743\ldots$ . Entonces $$ \frac57=0.7142857\ldots <\frac ab <0.7145 = \frac{893}{1250}$$ Por lo tanto, los números de las fracciones de diferencia $\frac ab-\frac 57=\frac{7a-5b}{7b}$ y $\frac{893}{1250}-\frac ab=\frac{893b-1250a}{1250b}$ son enteros positivos, es decir $$ \begin{align}7a-\hphantom{88}5b&\ge 1\\-1250a+893b&\ge1\end{align}$$ Entonces $1250$ veces el primero más $7$ la segunda desigualdad elimina $a$ y nos da $$ (-5\cdot 1250+7\cdot 893) b\ge 1250+7,$$ es decir, $$ b\ge 1257.$$
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