¿Es este subespacio isomorfo al espacio $\ell^1$ ?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach.

Supongamos que existe una secuencia $\{x_n\}$ en $X$ tal que

• para todo lo que es finito $A\subseteq\mathbb{N}$ y
• para todas las funciones $\alpha:A\to\{-1,1\}$ ,

tenemos que $\|\sum_{n\in A}\alpha_nx_n\|$ es igual al número de elementos en $A$ .

¿Implica esto que el cierre del subespacio abarcado por $\{x_n\}$ es isomorfo a $\ell^1$ ?

Esta pregunta es una modificación de ce pregunta, donde $\alpha\equiv 1$ .

Answer 1

Sí, es cierto. Incluso es posible demostrar más, a saber, que el cierre del tramo es isomórfico a $\ell^1$ .

La parte principal de la prueba consistirá en demostrar que $$ \tag{1} \label{eq1} \|\sum_{i=1}^n a_i x_i\| = \sum_{i=1}^n | a_i| $$ es cierto para todos los $(a_i)\in \ell^1$ y $n\in\mathbb N$ .

Demostramos \eqref {eq1} por inducción en $n$ .

Suponemos que \eqref {eq1} ya se mostró para $n\in\mathbb N$ y queremos demostrar que también se cumple para $n+1$ . Wlog podemos suponer que $a_{n+1}\geq |a_i|$ para $i=1,\ldots n$ (Si no, podemos reordenar los índices de manera que $|a_{n+1}|$ es el coeficiente con el mayor valor absoluto, y $a_{n+1}\geq0$ se puede suponer porque de lo contrario podemos multiplicar todo por $-1$ ).

Definimos $\alpha_i:=\operatorname{sgn} a_i$ . Entonces tenemos $$ \begin{align} \|\sum_{i=1}^{n+1} a_i x_i\| &= \|a_{n+1}\sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i x_i - \sum_{i=1}^n (\alpha_i a_{n+1}-a_i)x_i\| \\ &\geq \|a_{n+1}\sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i x_i\|-\| \sum_{i=1}^n (\alpha_i a_{n+1}-a_i)x_i\| \\ &= |a_{n+1}|(n+1) - \sum_{i=1}^n |\alpha_i a_{n+1}-a_i| \\ &= |a_{n+1}|(n+1) - \sum_{i=1}^n (|a_{n+1}|-|a_i|) = \sum_{i=1}^{n+1} |a_i|. \end{align} $$ La otra desigualdad se deduce de la desigualdad del triángulo.

Así, \eqref {eq1} es cierto para todos los $n\in\mathbb N, (a_i)\in\ell^1$ . Por continuidad también se puede demostrar que \eqref {eq1} es válida para $n=\infty$ .

Definamos el mapa $$ I:\ell^1\to \overline{\operatorname{span}(x_i)}, e_n\mapsto x_n. $$ Entonces se deduce de lo anterior que $I$ es una isometría. Por último, la propiedad de que $I$ es una isometría puede utilizarse para demostrar que $I$ es sobreyectiva e inyectiva.