Demostrar que una función es creciente en $n$ .

Question

Intento demostrar que la función $\frac{n}{2n+1}$ definido para $n \in \mathbb{N}$ , disminuye en $\mathbb{N}$ . Lo he intentado por inducción, pero no estoy convencido de que necesite totalmente la inducción. ¿Por qué no puedo demostrar que para un $n$ , $f(n) \leq f(n+1)$ y deducir que, como $n$ era arbitrario, esto es válido para todos los $n$ ? Lo único que falta sería el caso base, pero. No estoy totalmente seguro de por qué lo necesito aquí.

En cualquier caso, aquí está mi intento de inducción:

Dejemos que $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ se define por $f(n) = \frac{n}{2n+1}$ . Demostramos por inducción que $n$ que $f$ está aumentando en $n$ . Si $n = 1$ observamos que $$\begin{align*} f(1) = \frac{1}{3} \leq \frac{2}{5} = f(2). \end{align*}$$ Supongamos inductivamente que tenemos $f(n) \leq f(n+1)$ para algunos $n \geq 1$ . Así que tenemos $\frac{n}{2n+1} \leq \frac{n+1}{2n+3}$ . En primer lugar, tenemos $$\begin{align*} \frac{n+1}{2n+3} \leq \frac{n+3}{2n+3}. \end{align*}$$ Además, $2n + 5 \geq 2n + 3$ Así que $\frac{1}{2n + 5} \leq \frac{1}{2n+3}$ Así que $\frac{n+3}{2n + 3} \leq \frac{n+3}{2n+5}$ . Por lo tanto, se deduce que $$\begin{align*} \frac{n+1}{2n+3} \leq \frac{n+3}{2n+3} \leq \frac{n+3}{2n + 5} = \frac{(n+2) + 1}{2(n+2) + 1}, \end{align*}$$ así que $f(n+1) \leq f(n+2)$ que cierra la inducción

Answer 1

Como alternativa, podemos comprobar directamente $f(n)< f(n+1)$ es decir

$$\frac{n}{2n+1}<\frac{n+1}{2n+3} \iff 2n^2+3n<2n^2+3n+1 \iff0<1$$

lo cual es cierto.

Answer 2

Evitamos utilizar la inducción en este enfoque.

Usted tiene $$f(n)=\frac{n}{2n+1}$$ Por lo tanto, $$f(n)=\frac{1-\frac{1}{2n+1}}{2}$$ Ahora, como $n$ aumenta, $\frac{1}{2n+1}$ disminuye y por lo tanto, $f(n)$ aumenta.

Answer 3

$\dfrac{n}{2n+1} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2n}{2n+1} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2n+1 - 1}{2n+1} \right) = \dfrac{1}{2} \left(1 - \dfrac{1}{2n+1} \right)$

Desde $\dfrac{1}{2n+1}$ disminuye con el aumento de $n$ entonces $\left( 1 - \dfrac{1}{2n+1} \right)$ aumenta con $n$ Por lo tanto $\dfrac{n}{2n+1}$ aumenta con el incremento de $n$ .

Answer 4

Una prueba por inducción expresaría que si $f$ está aumentando en $n$ entonces $f$ está aumentando en $n+1$ o

$$\frac n{2n+1}<\frac{n+1}{2n+3}\implies\frac{n+1}{2n+3}<\frac{n+2}{2n+5},$$

que se puede reescribir como

$$-\frac1{(2n+1)(2n+3)}<0\implies-\frac1{(2n+3)(2n+5)}<0.$$

Esta proposición es verdadera, pero un poco sin sentido ya que ambos miembros son tautologías.

Answer 5

Como señalan Kavi Rama Murthy y el "usuario", no se necesita la inducción para demostrar que $f(n + 1) \geq f(n)$ . Pero (según la definición habitual de "aumentar"), hay que demostrar más que eso; que para cualquier $m$ y $n$ con $n \geq m$ , $f(n) \geq f(m)$ . Y derivar eso rigurosamente de $f(n + 1) \geq f(n)$ En este caso, sí se necesita la inducción (aunque la inferencia sea intuitivamente obvia).

Pero puedes mostrar $n \geq m \ \Rightarrow f(n) \geq f(m)$ sin inducción. GeometryLover e ilovemath deducen que a partir de la premisa de que la secuencia $n \mapsto \frac{1}{2n + 1}$ es decreciente. Más directamente, tenemos $$\begin{align*} f(n) - f(m) &= \frac{n}{2n + 1} - \frac{m}{2m + 1}\\ &= \frac{n - m}{(2m + 1)(2n +1)}\\ &> 0, \end{align*}$$ así que $f(n) > f(m)$ , siempre que $n > m$ .