Demostrar que cualquier grupo de orden $27$ no es sencillo

Question

Estoy atascado en este problema de mi curso de álgebra abstracta:

Demostrar que si $G$ es un grupo con $|G|=27$ entonces $G$ no es sencillo.

Lo primero que noté fue $|G|=27=3^3$ . He pensado que puedo utilizar una afirmación que he visto en el libro de texto:

• Dado $H\leq G$ con $G$ finito y $|G:H|=p$ ser $p$ el mínimo número primo que divide $|G|$ entonces $H\unlhd G.$

Esto demostraría que $G$ tiene un subgrupo normal no trivial, y eso significaría $G$ no es sencillo. Pero para usar esto necesito probar primero que mi grupo $G$ tiene algún subgrupo de orden $3^2$ (Si no me equivoco, esto no es trivial). Así que si mi razonamiento es correcto, tengo que demostrar que cualquier grupo de orden $27$ tiene algún subgrupo de orden $3^2$ y mi problema estará resuelto. ¿Estoy en lo cierto? ¿Cómo puedo demostrar esta última afirmación? Cualquier ayuda será apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Todo grupo de orden de potencia primo $p^n$ tiene un centro no trivial. Si el grupo no es abeliano, el centro es un subgrupo normal propio no trivial y, por tanto, dicho grupo no puede ser simple.

Hay muchas maneras diferentes de argumentar aquí, véase también este post:

Clasificar los grupos de orden 27

Muestra que todos los subgrupos del índice $p=3$ son normales.

Answer 2

Un hecho conocido es que cualquier $p$ -grupo de orden $p^n$ contiene subgrupos de orden $p^i$ para cada $i\le n$ .

Esto es más que suficiente, ya que entonces podemos tomar un subgrupo de índice $p$ que, por otro hecho bien conocido debe ser normal.

Por lo tanto, no $p$ -grupo con $n\gt1$ es simple.

Hay una prueba de inducción del primer hecho que se basa en el hecho adicional bien conocido de que $p$ -Los grupos tienen un centro no trivial (lo que se puede ver mirando la ecuación de la clase). Si unimos esto al cuarto hecho conocido de que el centro es siempre un subgrupo normal, tenemos una prueba diferente.