Dejemos que $R=\mathbb{Q}[x]$ y $J=\langle x^2\rangle$
Ahora quiero responder a algunas preguntas sobre $R/J$ .
En primer lugar, no es un campo. También $ax, bx \in R/J$ ambos son distintos de cero, pero su producto $abx^2$ es cero por lo que no es un dominio integral.
Pero, ¿es cierto que $R/J$ es un anillo ideal principal? Cómo debo demostrar que todo ideal no nulo es principio.
Merece la pena identificar qué $R/J$ parece, así que evitaré usar el teorema que identifica los ideales de $R/J$ con ideales de $R$ que contiene $J$ .
En efecto, para cualquier polinomio $p \in R$ , digamos que $p = \sum_{k=0}^n a_kx^k$ tenemos que $p - (a_1x+a_0) \in J$ . Además, la diferencia de dos polinomios distintos de grado como máximo $1$ no pertenece a $J$ por lo que están en diferentes clases de equivalencia.
Por lo tanto, los elementos de $R/J$ están en $1-1$ correspondencia con los polinomios $ax+b$ , para $a,b \in \mathbb Q$ . Es decir, $R/J = \{(ax+b) + \langle x^2\rangle\}$ .
Ahora, dado un ideal $I \subset R/J$ cada elemento de $I$ contiene precisamente un elemento de la forma $ax+b$ con $a,b \in \mathbb Q$ (por la razón que he mencionado antes).
¿Puede utilizar esta información? Intenta utilizarla primero para demostrar que $I$ debe ser principal(¿gcd?), entonces trata de ver si puedes entender mejor lo que $I$ debe ser. En particular, afirmo que $I$ está vacío, todo el espacio, o el ideal generado por $x + \langle x^2 \rangle$ . Intenta manipular $ax+b + \langle x^2 \rangle$ utilizando la propiedad ideal para encontrar otros elementos que un ideal que contiene $ax+b$ debe contener necesariamente.
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