Demuestre que el conjunto $S$ no es un submanifold

Question

La definición de submanifold en mi clase es la siguiente.

Dejemos que $d$ y $n$ números naturales, tales que $0 \leq d \leq n$ , dejemos que $l \in \mathbb{N} \cup \{\infty \} $ y que $X$ un espacio vectorial normado de dimensión $n$ . Un subconjunto $M \subset X$ es un $d$ -dimensional $C^l$ -submanifold de $X$ si se cumple:

Para todos $p \in M$ existe un subconjunto abierto $U \subset X$ whit $p \in U$ , un abierto $V \subset \mathbb{R}^n$ y un $C^l$ -difeomorfismo $\phi:U \rightarrow V$ con $$\phi(U \cap M)=V \cap (\mathbb{R}^d \times\{0\}).$$

Tengo que demostrar que el conjunto $S$ no es un submanifold de $\mathbb{R}^2$ , donde $S:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2~|~y\neq 0 \Rightarrow 1/y \in \mathbb{N} \}$ .

Mi problema es que creo que he demostrado que $S$ es un submanifold unidimensional de $\mathbb{R}^2$ . Entonces $S$ puede ser un submanifold de $\mathbb{R}^2$ ?

Answer 1

Como la definición no es clara, haré dos casos:

• Si $S=\{ (x,y)~\vert ~\exists n\geq 1 ,y=1/n\}$ entonces $S$ es un submanifold de $\Bbb R^2$ .

Prueba: Tome $p\in S$ . Escriba $p=(x,1/n)$ para que sea adecuado $x$ y $n$ . Definir $U=\Bbb R\times \left(1/n-\epsilon,1/n+\epsilon\right)$ con $\epsilon$ tal que $$1/(n+1)<1/n-\epsilon<1/n<1/n+\epsilon<1/(n-1).$$ Finalmente definir $V=\Bbb R\times (-\epsilon, \epsilon)$ y $\phi:U\to V$ por $\phi (a,b)=(a,b-1/n)$ . Entonces $\phi$ es un difeomorfismo y satisface $$\phi (U\cap S)=\phi(\Bbb R\times \{1/n\})=\Bbb R\times \{0\}=V\cap (\Bbb R\times \{0\}).$$

• Si $S=\{ (x,y)~\vert ~ y = 0 \text{ or }\exists n\geq 1 ,y=1/n\}$ entonces $S$ no es un submanifold de $\Bbb R^2$ .

Prueba: Supongamos por contradicción que $S$ es un submanifold de $\Bbb R^2$ . Porque $(0,0)\in S$ existen conjuntos abiertos $U$ y $V$ y un difeomorfismo $\phi:U \rightarrow V$ con $\phi(U \cap S)=V \cap (\mathbb{R}^d \times\{0\})$ , de tal manera que $(0,0)\in U$ y por ejemplo $\phi(0,0)=(0,0)$ . Puede disminuir $V$ a cualquier conjunto abierto $V^\prime \subset V$ que contiene $(0,0)$ y si tomas $U^\prime=\phi^{-1}(V^\prime)$ se consigue que $\phi:U^\prime \rightarrow V^\prime$ es un difeomorfismo con $\phi(U^\prime \cap S)=V^\prime \cap (\mathbb{R}^d \times\{0\})$ . De este modo, puede elegir $V$ sea de la forma $V=(-\epsilon,\epsilon)\times (-\epsilon,\epsilon)$ . Finalmente $\phi$ restringen a un difeomorfismo $$\phi : U-S\longrightarrow V-\mathbb{R}^d \times\{0\}$$ El problema de esta afirmación es que $V-\mathbb{R}^d \times\{0\}$ tiene como máximo dos componentes de trayectoria, pero $U-S$ tiene un número infinito de ellos. Esto es porque hay infinitas $n\geq 1$ de tal manera que haya algún $x\in \Bbb R$ satisfaciendo $(x,1/n)\in U$ y si $(x,1/n)$ y $(x^\prime,1/m)$ pueden unirse mediante una ruta en $U-S$ se pueden unir mediante una ruta en $\Bbb R^2-S$ lo que equivale a $m=n$ (mira la segunda coordenada de dicha trayectoria y utiliza el teorema del valor intermedio).

Espero que esto ayude.