He aquí una construcción más general, que contiene tanto el esfericón como el oloide como casos particulares.
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Tomemos dos planos que se cruzan, $\alpha$ y $\beta$ .
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Tomemos dos regiones convexas compactas $A\subset\alpha$ y $B\subset\beta$ .
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Asegúrese de que $A$ se divide en dos regiones no vacías por el plano $\beta$ y $B$ por el avión $\alpha$ .
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Dejemos que $a=A\cap\beta$ y $b=B\cap\alpha$ . Ambos conjuntos $a-b$ y $b-a$ son no vacíos.
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El objeto deseado es el casco convexo de la unión de las dos regiones convexas planas, $A\cup B$ . Sea $S$ sea su límite.
Por supuesto, dado que el casco convexo, en la condición 2 podemos eliminar la condición de que las dos regiones planas sean convexas, pero esto no aumenta la generalidad.
Prueba de que esto funciona.
Dejemos que $\partial A$ sea el límite de $A$ en el plano $\alpha$ y $\partial B$ el límite de $B$ en el plano $\beta$ .
A. La condición 3 implica que para cualquier punto $P$ en $\partial A$ hay dos puntos $Q_1$ y $Q_2$ en $\partial B$ que están separadas por el plano $\alpha$ por lo que los segmentos $PQ_1$ y $PQ_2$ también están separados por $\alpha$ . Esto también es válido para $B$ .
B. De A se deduce que si $P\in\partial A\cap S$ hay dos puntos $Q_1,Q_2\in\partial B\cap S$ para que los segmentos $PQ_1,PQ_2\subset S$ .
C. De la condición 3, y las observaciones A y B, y la definición de casco convexo, se deduce que $S$ es la unión de los segmentos $PQ$ , donde $P\in\partial A\cap S$ y $Q\in\partial B\cap S$ . Si ambos $P$ y $Q$ pertenecería a $\partial A\cap S$ entonces, por la condición 3, el segmento $PQ$ estaría en el interior del casco convexo, por lo que podemos descartar esta posibilidad.
D. De la condición 4, $\partial A\cap S$ y $\partial B\cap S$ son curvas abiertas.
E. A partir de D, y dado que las curvas $\partial A\cap S$ y $\partial B\cap S$ no se cruzan, la superficie $S-(\partial A\cup\partial B)$ está conectado.
F. Utilizando mi respuesta a otra pregunta, ¿Cuándo el casco de una curva espacial está compuesto por parches desarrollables? la superficie $S$ está hecho de parches desarrollables. Para aplicar ese resultado, hay que unir las dos curvas abiertas $\partial A\cap S$ y $\partial B\cap S$ por dos curvas que se encuentran en $S$ para que la unión no sea autointersectiva.
G. A partir de C, E y F, la superficie $S-PQ$ es urbanizable, donde $PQ$ es como en C.
H. Durante el ciclo completo de laminación, la curva $\partial A\cap S$ se recorre dos veces, una de un extremo a otro en un lado, y otra de vuelta, pero en el otro lado. Del mismo modo, para $\partial B\cap S$ .
Por lo tanto, $S$ tiene la propiedad de que, al rodar, desarrolla toda su superficie.
Ejemplos.
Tanto para el esfericón como para el oloide, tomamos $\alpha\perp\beta$ .
Para el oloide, tome $A$ y $B$ dos discos, de modo que cada disco tenga su centro en el límite del otro disco.
Para el esfericón, toma $A$ y $B$ dos hemisferios idénticos, cada uno de los cuales es simétrico con respecto a $\alpha\cap\beta$ y que sus centros coincidan con su intersección.
También se incluye aquí la generalización hecha por Manfred Weis en su comentario.
Es fácil transformar el oloide y el esfericón. Tome $A',B'$ dos discos idénticos, cada uno de los cuales es simétrico con respecto a $\alpha\cap\beta$ . Toma un avión $\gamma$ a través de su centro de masa, perpendicular en $\alpha$ y $\beta$ . Corta los círculos por $\gamma$ y tomar $A$ como la parte de $A'$ que contiene el centro de $A'$ y de forma similar para $B$ . Es fácil ver que el oloide y el esfericón son casos particulares de esta construcción, y variando la distancia entre los centros de los discos, podemos transformar uno en otro.
Respuestas.
Q1 . No, el esfericón y el oloide no son únicos con estas propiedades, hay infinidad de objetos de este tipo. Tal vez no se conozcan muchos.
Q2 . En esta respuesta, esperemos que.
Actualización 1.
Si las curvas $\partial A\cap S$ y $\partial B\cap S$ son segmentos de línea, obtenemos un tetraedro. Si cada uno de ellos está formado por dos segmentos, se pueden elegir de forma que obtengamos un octaedro.
En general, un poliedro convexo cuyas caras admiten un camino hamiltoniano, puede ser enrollado de forma que desarrolle toda su superficie, pero no necesariamente se obtiene por el método que he propuesto.
Es posible que se quiera descartar estos casos, en los que, una vez iniciada la rodadura, ésta no es única, por lo que el contacto entre el objeto y la superficie plana sobre la que se rueda es una (sobre)cara. Se puede querer que en cualquier punto, el contacto sea a lo largo de un segmento. En este caso, hay que añadir la condición de que las curvas $\partial A\cap S$ y $\partial B\cap S$ no contienen segmentos de línea.
