Dimensión fractal de un fractal que se compone de objetos discretos

Question

Estoy tratando de entender la dimensión fractal en el contexto de los geles coloidales. Pero más adelante hablaré de ello. Estoy confundido sobre una cosa más fundamental, que creo que está relacionada con la discreción de los objetos que componen el fractal.

He leído el argumento sobre la longitud de una costa aquí . La idea es que si mides la longitud de la línea de costa con reglas de un determinado tamaño, al reducir a la mitad el tamaño de la regla no duplicas la medida de la longitud, en unidades del número de reglas necesarias. Si la curva que da la línea de costa estuviera compuesta por líneas rectas muy (pero no infinitesimales) pequeñas, habría un tamaño de regla crítico por debajo del cual la respuesta no cambia. ¿Se define entonces el fractal sólo por encima de una determinada escala de longitud?

Entonces, si ahora tengo un gel coloidal, es decir, una red percoladora de partículas esféricas con diámetro $\sigma$ . Se considera que las esferas están unidas si la distancia entre dos partículas adyacentes es inferior a $\lambda\sigma$ , donde $\lambda>1$ . Es bien sabido que algunos tipos de coloides, como los que resultan de la agregación limitada por difusión, tienen ciertas dimensiones fractales, dependiendo de la dimensionalidad del problema. ( $d_f=1.75$ para $d=2$ etc.) Las esferas son objetos discretos y, sin embargo, cuando se aleja el zoom, el conjunto parece un fractal, en el sentido de que tiene una cierta rugosidad. De forma similar al argumento de la regla, si ahora calculo la dimensión del recuento de cajas Me sale $d=3$ porque sólo tengo una colección de esferas de diámetro $\sigma$ . ¿Significa esto que tengo que considerar "cajas" con lados más grandes que $\sigma$ ¿al igual que el argumento de la regla y la línea de costa? Si es así, ¿cómo conciliar un tamaño máximo de caja con la definición de la dimensión de contar cajas, que implica considerar el límite de la desaparición del tamaño de la caja?

Nota: Soy consciente de que hay otras formas de calcular la dimensión fractal en los sistemas coloidales, como por ejemplo observando cómo el radio de giro escala con el número de partículas en un grupo. En este momento, sólo tengo curiosidad por este método en particular.

También hay que tener en cuenta que no soy matemático de formación, así que puede que no entienda las pruebas o definiciones más allá de un nivel de introducción a la clase de pruebas.

Answer 1

En el página web a la que se refiere En el caso de la regla y la línea de costa, vemos una serie de imágenes que indican cómo surge la dimensión fractal cuando aproximamos un objeto con otros más pequeños. Más concretamente, si $E$ es un conjunto acotado y $N_{\varepsilon}(E)$ representa el número de piezas de tamaño $\varepsilon$ en alguna aproximación a $E$ entonces la dimensión fractal debe ser $$ \dim(E) = \lim_{\varepsilon\rightarrow0} \frac{\log(N_{\varepsilon}(E))}{\log(1/\varepsilon)}, $$ asumiendo que este límite existe.

Como has observado, este límite no puede llevarse a cabo en objetos físicos. Por lo tanto, la interpretación estándar en la literatura de la física, según entiendo, es suponer que la relación entre $N_{\varepsilon}(E)$ y $\varepsilon$ debe mantenerse en una amplia gama de valores. Una forma estándar de calcular la dimensión es calcular $N_{\varepsilon_k}(E)$ para algunos términos $\varepsilon_k$ elegido de una secuencia que tiende geométricamente a cero. A continuación, ajustamos una línea a los puntos en un gráfico logarítmico de $N_{\varepsilon}(E)$ frente a $\varepsilon$ . La dimensión del recuento de cajas debe ser aproximadamente la pendiente negativa de esa línea.