comentarios sobre mi solución con respecto a las relaciones de equivalencia.

Question

Para todos $x, y \in \mathbb{R}$ definir que $x \equiv y$ si $x^2 = y^2$ . Entonces $\equiv$ es una relación de equivalencia sobre $\mathbb{R}$ hay infinitas clases de equivalencia, una de las cuales consiste en un elemento y las demás constan de dos elementos.

Respuesta:

Verdadero. Reflectividad: Para demostrar que $\mathbb{R}$ es reflexivo tenemos que demostrar que $\forall x \in \mathbb{R} : x \equiv x$ . Sea $x \in \mathbb{R}$ , $x \equiv x$ si $x^2 = x^2$ , lo cual es obvio.

Simetría: Sea $x,y \in \mathbb{R}$ con $x \equiv y$ , por lo que tenemos $x^2=y^2$ y trivialmente obtenemos $y^2=x^2$ Por lo tanto $y \equiv x.$

Transitividad: Sea $x,y,z \in \mathbb{R}$ con $x \equiv y$ y $y \equiv z$ . Ahora demostramos que $x \equiv z$ : Desde $x^2=y^2$ y $y^2=z^2$ obtenemos por transitividad de la igualdad $x^2=z^2$ y por lo tanto $x \equiv z.$

¿Es correcta la respuesta a la pregunta? Y por favor, dígame cómo puedo demostrar que hay infinitas clases de equivalencia una de las cuales consiste en un elemento y el resto consisten en dos elementos. Si no es correcto entonces por favor proporcione la respuesta correcta.

Answer 1

Sí, su prueba de que $\equiv$ es una relación de equivalencia está bien. Para considerar las clases de equivalencia, observe que

$$x \equiv y \iff x = y \text{ or } x = -y$$

(¿ves por qué?) Una vez que tengas esto, estudia los números que son cero y positivos por separado - encontrarás una clase de equivalencia distinta para cada número positivo.

Answer 2

Es cierto. Y para que sepas, si defines $x \sim y \iff f(x) = f(y)$ para una función determinada $f$ , lo hará siempre esgrimen una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia serán las superficies de nivel de $f$ . Creo que es un buen ejercicio para probar esto.