Mostrando que la energía cinética y potencial es constante

Question

Consideremos el problema de valor inicial:

\begin{cases} u_{tt} &= c^2 u_{xx} \ \ & \text{for} \ -\infty < x < \infty, \ 0 \leq t < \infty\\ u(x,0) &= \phi(x) \ \ & \text{for} \ -\infty < x < \infty\\ u_t(x,0) &= \psi(x) \ \ & \text{for} \ -\infty < x < \infty\\ \end{cases} donde $\phi$ tiene soporte compacto (es decir, fuera de algún intervalo acotado, $\phi$ es cero), y $\psi(x) = 0$ . Definir la energía cinética $KE = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \rho u_t^{2} dx$ y la energía potencial $PE = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} T u_x^{2} dx$ . No demuestre que, para tiempos suficientemente grandes $t$ Cada uno de $KE$ y $PE$ es a su vez constante, y son iguales entre sí. ¿Puedes demostrar lo mismo si la velocidad inital $\psi$ simplemente tiene un soporte compacto, en lugar de ser cero?

No estoy seguro de cómo empezar esto, cómo voy a mostrar que $KE$ y $PE$ son constantes? Suelo publicar algunos trabajos pero no estoy seguro de cómo empezar esto. Cualquier ayuda sería útil.

Answer 1

Definir $E_k(t) \equiv \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}u_t^2(x,t){\rm d}x$ y $E_p(t) \equiv \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}c^2u_x^2(x,t){\rm d}x$ . Entonces, tomando la derivada y utilizando la integración por partes obtenemos $$\frac{d}{dt}(E_k(t) + E_p(t)) = \int_{\mathbb{R}}u_t[u_{tt} - c^2u_{xx}]{\rm d}x = 0$$ por lo que la energía total se conserva. Para demostrar que $E_p(t) = E_k(t)$ para grandes $t$ necesitamos una expresión para la solución. Ésta viene dada por la fórmula de d'Alemberts

$$u(x,t) = \frac{\phi(x+ct) + \phi(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s){\rm d}s$$

a partir del cual se puede calcular $u_t$ , $u_x$ y derivar

$$E_k(t) - E_p(t) = \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}[\psi(x+ct)+c\phi'(x+ct)][\psi(x-ct)-c\phi'(x-ct)]{\rm d}x$$

Para simplificar el álgebra anterior, observe que $u_t^2 - c^2u_x^2 = (u_t - cu_x)(u_t+cu_x)$ . Ahora bien, desde $\phi$ y $\psi$ tiene un soporte compacto, entonces hay un $M>0$ tal que $\phi'(x) = \psi(x) = 0$ para todos $|x| > M$ . Ahora bien, si $ct > \frac{M}{2}$ entonces $|x-ct| > M$ o $|x+ct|>M$ para todos $x$ por lo que el integrando anterior es idéntico a cero y $E_p = E_k$ se deduce. Finalmente, como sabemos que $E_k + E_p$ es constante se deduce que $E_p$ y $E_k$ tiene que ser constante para grandes $t$ .

Answer 2

Tenemos \begin{equation} \begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx} \ \ & \text{for} \ -\infty < x < \infty, \ 0 \leq t < \infty\\ u(x,0) = \phi(x) \ \ & \text{for} \ -\infty < x < \infty\\ u_t(x,0) = \psi(x) \ \ & \text{for} \ -\infty < x < \infty \end{cases} \end{equation} Por lo tanto, \begin{equation} \phi(x) = 0 \ \ \ \text{and} \ \ \ \psi(x) = 0 \end{equation} y \begin{equation} KE = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \rho u_t^{2} dx \end{equation} \begin{equation} PE = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} T u_x^{2} dx \end{equation} De la ecuación $(1)$ $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ entonces \begin{equation} u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0 \end{equation} Aquí, $A = -c^2, B = 0$ y $C = 1$ . Así, \begin{equation} B^2 - 4AC = 4C^2 > 0 \end{equation} Así que la ecuación es hiperbólica. Las características de la ecuación son \begin{equation} \frac{dt}{dx} = \pm\frac{1}{C} \end{equation} o $$\xi = x - ct = \ \text{const} \ \ \ \text{and} \ \ \ \eta = x + ct = \ \text{const}$$ Ahora, en términos de nuevas coordenadas $\xi$ y $\eta$ entonces $$u_{xx} = u_{\xi \xi} + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} \ \ \ u_{tt} = c^2(u_{\xi\xi} - 2 u_{\xi\eta + u_{\eta\eta}}$$ Así, la ecuación $(1)$ se convierte en \begin{equation} -4c^2 u_{\xi\eta} = 0 \end{equation} Por lo tanto, $c\neq 0$ , \begin{equation} u_{\xi \eta} = 0 \end{equation} Por lo tanto, la integración de $u_{\xi\eta} = 0$ dos veces obtenemos entonces la solución \begin{equation} u(\xi \eta) = \phi(\xi) + \psi(\eta) \end{equation} donde $\phi$ y $\psi$ son funciones arbitrarias. Así, en términos de $x$ y $t$ \begin{equation} u(x,t) = \phi(x - ct) + \psi(x + ct) \end{equation} Ahora desde \begin{equation} u(x,0) = \phi(x) \ \ \ \text{and} \ \ \ u_t(x,0) = \psi(x) \end{equation} Así que, \begin{equation} \phi(x) + \psi(x) = \phi(x) \end{equation} y \begin{equation} -c \phi^{\prime}(x) + c\psi^{\prime}(x) = \psi(x) \end{equation} Ecuación integradora $(14)$ \begin{equation} -c \phi(x) + c\phi(x) = \int_{x_0}^{x}\psi(\tau)d\tau \end{equation} donde $x_0$ es una constante arbitraria. Ahora la ecuación $(13)$ y $(15)$ se convierte en $$\phi(x) = \frac{1}{2}\phi(x) - \frac{1}{2c}\int_{x_0}^{x}\psi(\tau)d\tau$$ y $$\psi(x) = \frac{1}{2}\psi(x) + \frac{1}{2c}\int_{x_0}^{x}\psi(\tau)d\tau$$ Así, la ecuación $(11)$ da la solución (solución de D'Alembert) del problema de Cauchy como $$u(x,t) = \frac{1}{2}\left[ \phi(x - ct) + \phi(x + ct) \right] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(\tau)d\tau$$ Así que tenemos $$u_t(x,t) = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left[ \phi(x - ct) + \phi(x + ct) \right] + \frac{1}{2c}\frac{\partial}{\partial t}\left[ \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(\tau)d\tau \right]$$ y $$u_{x}(x,t) = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left[ \phi(x-ct) + \phi(x+ct) \right] + \frac{1}{2c}\frac{\partial}{\partial x}\left[ \int_{x - ct}^{x+ct}\psi(\tau)d\tau \right]$$ por lo tanto $$KE = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\rho u_{t}^{2}dx$$ Así que, $$KE = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\rho\left[ \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t} \left[ \phi(x-ct) + \phi(x + ct) \right] \right] + \frac{1}{2c}\frac{\partial}{\partial t}\left[\int_{x - ct}^{x+ct}\psi(\tau)d\tau \right]^2dx$$ y $$PE = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} T u_x^{2} dx$$ Así que, $$PE = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}T\left[ \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\left[ \phi(x - ct) + \phi(x + ct) \right] + \frac{1}{2c}\frac{\partial}{\partial x}\left[ \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(\tau)d\tau \right] \right]^2dx$$ Así, a partir de lo anterior, podemos ver que para $t > 0$ , $KE$ y $PE$ es constante, por lo que $KE = PE$ en algún momento.