un conjunto totalmente ordenado con pozo pequeño conjunto ordenado tiene que ser pequeño?

Question

haciendo algo muy diferente a la siguiente pregunta vino a mí: 1)Si usted tiene un conjunto totalmente ordenado tal que todas las subconjunto ordenado son en la mayoría de los contables, es cierto que Una tiene en la mayoría de la cardinalidad del continuo?

2)Más en general, es cierto que si un conjunto totalmente ordenado, así se ha ordenado subconjunto de longitud en la mayoría de las $|B|$ entonces en la mayoría de cardinalidad $2^{|B|}$?

Answer 1

Si $\kappa>2^\omega$, $\kappa^*$ es un contraejemplo: todos los de su bien ordenada subconjuntos finitos. (La estrella indica el orden inverso.) Sin embargo, si usted requiere todo bien ordenado y revertir el orden de los subconjuntos a ser contables, la respuesta es sí a la pregunta más general.

Deje $\langle A,\le\rangle$ ser un orden lineal con $|A|>2^\kappa$. Deje $\preceq$ ser cualquier bien de la orden en $A$. A continuación,$[A]^2$, el conjunto de $2$-elemento de subconjuntos de a $A$, se puede dividir en grupos $I_0$$I_1$, donde

$$I_0=\left\{\{a,b\}\in[A]^2:\le\text{ and }\preceq\text{ agree on }\{a,b\}\right\}$$

y

$$I_1=\left\{\{a,b\}\in[A]^2:\le\text{ and }\preceq\text{ disagree on }\{a,b\}\right\}\;.$$

Por el Erdős-Rado teorema hay un $H\subseteq A$ e una $i\in\{0,1\}$ tal que $|H|>\kappa$$[H]^2\subseteq I_i$. Si $i=0$, $H$ está bien ordenado por $\le$, y si $i=1$, $H$ es inversamente bien ordenado por $\le$.

(Buena pregunta, por cierto.)