Demostrar que $\sin t,\, \cos t,\, t\sin t,\, t\cos t$ son funciones linealmente independientes

Question

¿Puede alguien ayudarme en esto que últimamente tengo problemas con las funciones independientes? Gracias

Answer 1

Son linealmente independientes si la única solución de la ecuación $a\sin(t)+b\cos(t)+ct\sin(t)+dt\cos(t)=0$ sólo tiene una solución $a=b=c=d=0$ .

Pero sólo tienes una ecuación y 4 variables. Como la ecuación debe ser verdadera para todos los valores de $t$ Una forma de superar esta dificultad es sustituir $t$ por valores que simplifican los cálculos.

Por ejemplo, si se pone $t=0$ en la ecuación, se obtiene, $a\cdot 0+b\cdot 1+c\cdot 0+d\cdot 0=0%$ . Así, $b=0$ es el único valor para $b$ y terminas con una ecuación con 3 variables: $a\sin(t)+ct\sin(t)+dt\cos(t)=0$ Opciones adecuadas de $t$ le permitirá encontrar $a$ , $c$ , $d$ que, con suerte, serán todos 0.

Answer 2

Una pista:

Empieza por una relación lineal entre ellos: $$\lambda \sin t+\mu \cos t+\nu t\sin t +\xi t\sin t =0$$ y dar $t$ $3$ valores bien elegidos. Por ejemplo, si se establece $t=0$ cede de inmediato $\mu=0$ .

Answer 3

Si $a\sin t+b t \sin t +c\cos t +d t \cos t=0$ para todos $t$ con $a,b,c,d$ no todos $0$ entonces $$\tan t=-\frac {c+d t}{a+b t}$$ siempre que $\cos t \ne 0$ y $a+b t\ne 0$ . Pero para cualquier $r$ hay infinitas $t$ para lo cual $\tan t=r$ y como máximo una $t$ para lo cual $(c+d t)/(a+b t)=r$ ..... Si nos limitamos a $t\in [u,v]$ con $u<v$ podemos utilizar el método dado en las otras respuestas :Tomar varios valores de $t$ y obtener un triplete de ecuaciones lineales en $a,b,c,d$ que son incoherentes.