¿Existen premisas matemáticas que no son válidas en otros sistemas matemáticos o formas de pensar?

Question

No sé muy bien cómo formular la pregunta, pero es la siguiente: ¿Existen premisas matemáticas que no sean verdaderas en diferentes sistemas? ¿Y puede alguien darme ejemplos?

Por ejemplo: los ángulos interiores de un triángulo, en el espacio euclidiano, suman 180 grados. Sin embargo no es posible demostrar que los ángulos interiores de un triángulo sean iguales a 180 grados en el espacio euclidiano, dentro de otros sistemas, como la geometría esférica o la geometría hiperbólica.

Answer 1

En la lógica estándar ("clásica"), si se puede demostrar que una afirmación es verdadera, se puede concluir que no es falsa, y si se puede demostrar que no es falsa, se puede concluir que es verdadera. En la lógica intuicionista, lo primero es aceptable, pero lo segundo se considera inválido.

(En notación, la lógica intuicionista acepta $P\to\lnot\lnot P$ pero rechaza $\lnot\lnot P\to P$ . " $x\to y$ " significa que desde $x$ se puede deducir $y$ y " $\lnot x$ " significa que $x$ es falso).

Answer 2

Para poner un poco de perspectiva en el ejemplo que has dado, imagina un mundo en el que conociéramos los números de conteo $1,2\ldots,$ pero no sabíamos de $0.$ Podríamos intentar, como hicieron los griegos con la geometría, escribir algunos axiomas de la aritmética: $$x +y =y+x\\x+(y+z)=(x+y)+z\\xy=yx\\x(yz)=(xy)z\\x(y+z)=xy+xz.$$ Podríamos pensar que es razonable que podamos probar el conocido hecho de que $x+y\ne x,$ pero, por mucho que lo intentemos, nunca podremos hacerlo. Eso es porque podríamos estar trabajando en los naturales $\{0,1,2\ldots\},$ en lugar de los números de conteo $\{1,2,\ldots\},$ en cuyo caso nuestros axiomas siguen siendo válidos, pero el "hecho conocido" no es cierto, por lo que el hecho no puede ser una consecuencia de estos axiomas.

(En realidad, los axiomas que escribí son aún más débiles que eso: ni siquiera excluyen el caso de un mundo muy aburrido en el que el cero es el único número).

Así que ejemplos como el caso del postulado paralelo que mencionas son bastante fáciles de conseguir. Por ejemplo, la idea de que "todo polinomio tiene una raíz" es absurda con respecto a los números reales, pero es cierta en los números complejos.