¿Cómo puede una biyección de $\mathbb R^n \to \mathbb R$ ¿existe cuando una matriz no cuadrada no es invertible?

Question

He encontrado referencias en internet que dicen que existe una biyección entre $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}$ . También he encontrado referencias que dicen que si existe una biyección entre conjuntos, entonces existe una inversa. Sin embargo, sé que cualquier transformación matricial, $A$ entre $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}$ está en $\mathbb{R}^{n\times 1}$ que no es cuadrado y, por tanto, no tiene inversa.

¿Cómo es que esto no es una contradicción en las distintas reclamaciones? Gracias por la ayuda para aclarar esto.

Answer 1

No hay ninguna contradicción. Cada biyección de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb R$ tiene una inversa, mientras que (si $n>1$ ) no hay lineal biyección de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb R$ .

Answer 2

Puede que te ayude saber qué tipo de biyección es en realidad. Aquí tienes un ejemplo, si piensas en $\mathbb{R}^n$ como una lista de n números, luego toma los n números e intercala sus dígitos para formar un solo número. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$ :

(3.45, 27.9, 0.045) -> 20370.490504005

Ahora está bastante claro que esto es una biyección, y bastante claro que puedes invertirla. Pero no se puede representar con una matriz, porque no es en absoluto un mapeo lineal.