Si $f:[,0,1] \to R$ es una función continua tal que $\int f(\sqrt[2n+1] x) dx = 0$ para $n=0,1,...$ entonces demuestre que $f(x)=0 \forall x \in [0,1]$

Question

Si $f:[0,1] \to R$ es una función continua tal que $\int_0^1 f\left(\sqrt[2n+1] x\right) dx = 0$ para $n=0,1,...$ entonces demuestre que $f(x)=0\, \forall x \in [0,1]$ .

No sé por dónde empezar con esto.

Obviamente, mostrar la composición $f \circ g(x)$ = 0 es similar a $\int f(x) dx = 0$ y puedo demostrar que $f\circ g(x)=0$ . Pero tengo que demostrar que $f(x)=0$ y estoy perplejo.

Esta respuesta es ideal para ampliar el problema para un $n$ fuera del paréntesis, pero no sirve de mucho para este problema. ¿Algún consejo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que para $\forall n\in\mathbb{N}$ , utilizando $x=t^{n+1}$ da $$ \int_0^1f(\sqrt[n+1]{x})dx=(n+1)\int_0^1t^nf(t)dt=0 $$ y por lo tanto $$ \int_0^1t^nf(t)dt=0. $$ Entonces, ahora utiliza el resultado en el enlace.

Answer 2

Lema: Si $f\in C([0,1]),$ entonces existe una secuencia de polinomios $p_n$ tal que $p_n(x^2) \to f(x)$ uniformemente como $n\to \infty.$

Prueba: La función $f(\sqrt x)\in C([0,1]).$ Por Weierstrass, hay una secuencia de polinomios $p_n$ tal que $p_n(x) \to f(\sqrt x)$ uniformemente en $[0,1].$ . Se deduce fácilmente que $p_n(x^2) \to f(x)$ uniformemente en $[0,1].$

Ahora vayamos al problema que nos ocupa. Dejemos que $x = u^{2m+1}$ para ver

$$\int_0^1 f(u)u^{2m}\, du = 0,\,\, m = 0,1,2,\dots$$

De ello se desprende que $\int_0^1 f(u)p(u^2)\, du = 0$ para cada polinomio $p.$ Pero por el lema, hay una secuencia $p_n$ tal que $p_n(u^2) \to f(u)$ uniformemente. Por lo tanto,

$$\int_0^1f(u)^2\, du = \lim_{n\to \infty}\int_0^1 f(u)p_n(u^2)\, du = \lim 0 = 0.$$

Eso implica $f\equiv 0$ como se desee.