Consideremos el 3-simplex, o tetraedro, en el 3-espacio. Independientemente de la posición de los vértices, cada punto del simplex se encuentra en una cuerda entre dos aristas no adyacentes del simplex. O, lo que es lo mismo, cada punto interior se encuentra a lo largo de un segmento de línea recta que cruza dos aristas no adyacentes.
¿Cuándo se cumple esta propiedad en otros poliedros convexos (o no convexos)? ¿Cómo se extiende esta propiedad al $N$ -¿Simplemente?
La pregunta es si cada punto $v$ en el interior de un 3-politopo $P \ $ está en un intervalo entre dos puntos de borde. Esto es fácil. Proyecta las aristas de $P$ en una esfera unitaria centrada en $v$ . Llama al gráfico resultante $G$ azul . Tome lo contrario $-G$ y llamamos a este gráfico rojo . Es evidente que los gráficos rojo y azul se cruzan, ya que de lo contrario uno debe estar en la cara del otro, lo que es imposible ya que $v$ es interior. Por lo tanto, la línea que pasa por el punto de intersección y $v$ es la deseada.
En cuanto a las dimensiones superiores, es evidente que esto no es posible ya por razones de dimensionalidad. Estamos hablando de una familia de intervalos de 2 parámetros, que no pueden cubrir el interior de un $d$ -politopo, para $d\ge 4$ .
Creo que la solución propuesta es ligeramente incompleta ya que la pregunta original pide aristas no adyacentes de un 3-politopo. Se puede arreglar fácilmente estudiando la intersección de los grafos G y -G.
En cuanto a las posibles versiones n-dimensionales del problema, se puede demostrar el siguiente resultado. Sea P un politopo n-dimensional y k y m enteros positivos tales que k + m = n + 1. Para cualquier punto x en P hay dos caras, F y G, de P tales que dim F \le k - 1, dim G \le m - 1, y x está en conv(F U G).
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