El círculo del seno del topólogo está conectado a la trayectoria, pero no está localmente conectado a la trayectoria.

Question

Como ya sabrán, el curva sinusoidal del topólogo es el conjunto:

$\{{(x,y) : x=0 \ and \ |y|\leq 1,\ or \ 0<x \leq 1 \ and\ y=\sin\dfrac{1}{x}}\}$

Quiero demostrar que el círculo del seno del topólogo que es la unión del arco circular y la curva sinusoidal del topólogo está conectada por trayectoria pero no está localmente conectada por trayectoria. (puedes ver la imagen del círculo del seno del topólogo abajo):

[círculo sinusoidal del topólogo]

para decir que no está localmente conectado a la trayectoria creo que tenemos que elegir un intervalo cerca de la $x=0$ y luego mostrar que no está localmente conectado a la ruta. También la conexión por trayectoria de este objeto está clara en la imagen, pero desgraciadamente no sé cómo hacer una demostración matemática de estar conectado por trayectoria y no estar conectado localmente por trayectoria.

Answer 1

Este espacio es camino conectado .

• Tienes un camino continuo que une $(0,0)$ y $(1,0)$ , es decir, el arco añadido a la curva del seno del topólogo.
• Hay un camino continuo que une $(0,0)$ con cualquier punto del segmento $\{0\}\times[-1,1]$ sólo tienes que tomar una línea recta.
• Hay un camino continuo que une $(1,0)$ con cualquier punto $(x,\sin\frac1x)$ , $x>0$ . Simplemente se puede tomar parte de la gráfica de la función continua $x\mapsto \sin\frac1x$

Ahora puedes simplemente combinar lo anterior para obtener un camino que una dos puntos cualesquiera. O puedes argumentar que lo anterior implica que dos puntos cualesquiera se encuentran en la misma componente conectada a la trayectoria.

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Para demostrar que este espacio es no está conectada localmente a la ruta simplemente se puede tomar una vecindad lo suficientemente pequeña del punto $(0,1)$ . La intersección de tal vecindad ni siquiera está conectada. (Esto es básicamente lo mismo que el argumento de por qué la curva sinusoidal del topólogo no está localmente conectada .)

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Cabe mencionar que este espacio también se llama Círculo de Varsovia . Google Imágenes , Google , StackExchange .