CDF de max( $X$ , $Y$ ) - ¿Dónde está el error?

Question

$X$ y $Y$ son vectores independientes y sabemos que $F_X(x)$ y $F_Y(y)$ . Sea $Z=max(X,Y)$ . Encuentre $F_Z(z)$ .

Este es mi razonamiento:

$F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(max(X,Y)\leq z)$ .

Afirmo que tenemos dos casos aquí:

1) $max(X,Y)=X$ . Si $X<z$ se nos garantiza que $Y<z$ Así que $F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(X<z)=F_X(z)$

2) $max(X,Y)=Y$ . De la misma manera, $F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(Y<z)=F_Y(z)$

Ya que estamos interesados en el caso #1 o #2,

$F_Z(z)=F_X(z)+F_Y(z)-F_X(z)*F_Y(z)$

Sin embargo, está mal y lo sé. Pero me gustaría saber dónde está el fallo de mi razonamiento. I conocer la respuesta a este problema, sólo quiero saber en qué momento falla mi razonamiento.

Answer 1

Creo que está bien lo de separar los casos, pero luego no los cuida correctamente. Ya que cuando dices en tu caso 1 que el máximo es $X$ , estás "condicionando" $X>Y$ y eso cambia el espacio sobre el que se calculan las probabilidades.

Tenemos dos casos en los que cualquiera de los dos ocurre:

caso 1: $X<Y<z$

caso 2: $Y<X<z$ .

Es decir \begin{align} \Pr(\max\{X,Y\}<z)&=\Pr(X<Y<z)+\Pr(Y<X<z)\\ &=\int_{x=-\infty}^z\int_{y=x}^zf_Y(y)f_X(x)dydx+\int_{y=-\infty}^z\int_{x=y}^zf_Y(y)f_X(x)dxdy\\ &=\int_{y=-\infty}^z\int_{x=-\infty}^yf_Y(y)f_X(x)dxdy+\int_{y=-\infty}^z\int_{x=y}^zf_Y(y)f_X(x)dxdy\\ &=\int_{y=-\infty}^zf_Y(y)\left(\int_{x=-\infty}^yf_X(x)dxdy+\int_{x=y}^zf_X(x)dx\right)dy\\ &=\int_{y=-\infty}^zf_Y(y)\left(\int_{x=-\infty}^zf_X(x)dxdy\right)dy\\ &=F_Y(z)F_X(z). \end{align}

Answer 2

$\max(X,Y)\le z$ significa que ambos $X$ y $Y$ son $\le z$ .

Answer 3

Su razonamiento, de utilizar el Principio de Inclusión y Exclusión, estaría bien si se tratara de mínimos y no de máximos.

$\bullet \quad F_{\min \{X,Y\}}(z) ~{=~ \mathsf P(X\leq z~\cup~Y\leq z) \\=~ F_X(x)+F_Y(z)-F_X(z)\cdot F_Y(z)}\\\bullet\quad F_{\max\{X,Y\}}(z)~{=~\mathsf P(X\leq z~\cap~Y\leq z)\\=~F_X(z)\cdot F_Y(z)}$

Answer 4

Todo funciona hasta que se escribe "o... o..." en lugar de "y".

En la práctica, su última fórmula está calculando la probabilidad de que $X \le z$ o $Y \le z$ pero no ambos. Por lo tanto, para $X \le z$ se calcula implícitamente la probabilidad de que $Y > z$ ; asimismo, para $Y \le z$ se considera la probabilidad de que $X > z$ .