Para una persona que elige al azar, la probabilidad de obtener el especial en la primera elección es $ \frac 1 {20}$ . En el segundo intento es $\frac {19} {20} * \frac 1 {19}$ = $ \frac 1 {20}$ . Siguiendo la misma lógica, obtenemos para una sola bolsa la probabilidad de escoger la bola especial en $n^{th}$ la elección es
$P(n) = \frac 1 {20}$
Usando esto podemos construir una distribución uniforme discreta para el número de recogidas que obtenemos la bola especial.
$E(n) = 10.5$
$Var(n) = \frac {(b - a + 1 ) ^ 2 -1} {12} = \frac {399} {12}$
Ahora que tenemos una distribución, tenemos que hacer una prueba de bondad de ajuste. Utilizando una prueba de chi-cuadrado de un solo lado podemos mostrar si los resultados son significativos o no. Como sólo tienes 5 observaciones, tu grado de libertad sería muy bajo. Puedes probarlo con diferentes niveles de significación (o mirar el valor p)
Sin embargo, como has señalado en el comentario, las pruebas de Chi-cuadrado sólo prueban si son de la misma distribución, no si están en el extremo inferior. Podemos hacer una simulación monte carlo para obtener la cdf y obtener la respuesta de esa manera, sin embargo, ya que estamos trabajando en la cola, podría ser lento para converger (muestreo de importancia podría ser utilizado).
También podemos utilizar la fuerza bruta para calcularlo.
En teoría, los resultados de la selección 5 pueden aparecer en $20^5$ formas. Tu amigo psíquico obtuvo un total de 12. Ahora vamos a obtener la distribución de la suma.
Para conseguir una puntuación de 5 (consiguiendo todas en el primer intento) sólo hay una manera. Hay que elegir todas en el primer intento.
Para conseguir una puntuación de 6 o menos (conseguir uno en el segundo intento todos los demás en el primero) hay 5 + 1 = 6 maneras.
Para obtener una puntuación de 7, y más vamos a llegar a una solución general
Imagina que el total es 11. (por ejemplo, ha acertado en los picks 2/3/2/2/2) ¿Cuántas formas totales puede haber de arreglar eso? El ejemplo podría describirse de la siguiente manera:
0x00x0x0x
Esto se podría organizar en $\frac {11!} {6!5!} $ = $11 \choose 5$ caminos Como siempre va a haber exactamente 5 x y no puede haber más de 19 0 consecutivos, podemos usar $n \choose 5$ hasta 20 con seguridad. Si el arreglo ocurre algo como lo siguiente
0xxx0xx0000
Significa que hemos acertado en los picks (2,1,1,2,1) y hemos terminado con 7, que es un arreglo incluido en $11 \choose 5$
Como tu amigo obtuvo 12 puntos, sería $\frac {12 \choose 5} {20^5} = 0.0002475. $ Como esto es menor que el 1%, podemos decir que es estadísticamente mejor en la selección.
Espero que sea de ayuda
