La inclusión de la subcategoría completa de espacios topológicos de Hausdorff en la categoría de espacios topológicos tiene un adjunto izquierdo, que puede demostrarse fácilmente mediante el Teorema del Funtor Adjunto (véase, por ejemplo, S. MacLane, Categories for Working Mathematicians). A cada espacio topológico este adjunto izquierdo asocia un espacio de Hausdorff llamado el mayor cociente de Hausdorff.
¿Conoces alguna referencia en la que se construya explícitamente este adjunto izquierdo?
Consideremos la relación de equivalencia $\sim$ en su espacio $X$ tal que $x\sim y$ si $x$ y $y$ tienen la misma imagen bajo todos los mapas continuos suryentes $f:X\to Y$ con codominio $Y$ un espacio de Hausdorff. Poner en el conjunto $X/\sim$ la menor topología que hace que todos esos mapas sean continuos, y tienes el espacio que quieres. Dudo que haya alguna referencia real para esto.
Mariano ya ha respondido a la pregunta, pero permítanme hacer dos observaciones adicionales:
1) En realidad la prueba de GAFT es constructivo y puede ser (al menos a veces) utilizado para obtener explícitamente un functor adjunto a la izquierda. En este caso, se puede ver directamente el "gran coequalizador" cuya cuestión de existencia teórica de conjuntos se trata con la condición de conjunto solución: basta con considerar todos los mapas de su espacio $X$ en espacios de Hausdorff que son surjective Esto limita la cardinalidad de los espacios de Hausdorff y, por tanto, hasta el isomorfismo, sólo hay un conjunto de ellos.
2) Otra construcción del adjunto izquierdo de $\mathsf{Haus} \to \mathsf{Top}$ funciona de la siguiente manera: Sea $X$ sea un espacio topológico, y consideremos la relación de equivalencia $\sim$ generado por: Si $x,y$ no pueden estar separados por conjuntos abiertos disjuntos, entonces $x \sim y$ . Entonces $H(X):=X / \sim$ tiene la propiedad de que cada mapa de $X$ en un espacio de Hausdorff es un factor único a través de $X \to H(X)$ . Si $H(X)$ fuera Hausdorff, habríamos terminado. Pero no siempre es así. En su lugar, tenemos que repetir esta construcción: $X \to H(X) \to H(H(X)) \to H(H(H(X))) \to \dotsc$ , entonces toma el colímite $H^{\omega}(X)$ y hacer de nuevo $H^{\omega}(X) \to H(H^{\omega}(X)) \to \dotsc ...$ . Se puede continuar así para cada número ordinal. Como $X$ es un conjunto y todos estos mapas son mapas cocientes, en algún momento obtenemos un isomorfismo, que es el cociente de Hausdorff deseado.
Es interesante cuando llegamos a esta etapa, ver mi pregunta sobre el dimensión nonhausdorff .
Para aumentar muy ligeramente la bonita respuesta de Mariano, bastan los cocientes de Hausdorff (en contraposición a las suryecciones).
Para obtener el cociente Hausdorff más fino de un espacio arbitrario $X$ , toma el cociente de $X$ por la intersección de todas las particiones de $X$ determinado por los mapas de cociente de $X$ con $T_{2}$ imagen.
Esta es una pregunta antigua, pero creo que es pertinente mencionar el artículo "A Universal Factorization Theorem in Topology" de Sharpe, Beattie y Marsden ( Canad. Math. Bull. 9 (1966), 201-207): describen cómo construir (de forma bastante explícita) la relación de equivalencia más pequeña $R$ para que $X/R$ es $T_2$ (o varios otros axiomas de separación), relacionarlo con la relación de equivalencia "obvia" (es decir, la inducida por "todo par de conjuntos abiertos que contengan respectivamente $x$ y $y$ se cruzan"; esto es esencialmente lo que dice Martin Brandenburg en su respuesta anterior) y dan un ejemplo en el que ambos no coinciden. Su resultado se aplica a varias propiedades de separación similares.
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