Coeficiente de probabilidad de las proporciones de Hardy-Weinberg

Question

Consideremos una población con tres tipos de individuos etiquetados $1, 2$ y $3$ que ocurren en las proporciones Hardy-Weinberg $f(1,\theta)=\theta^2,f(2,\theta)=2\theta(1\theta),f(3,\theta)=(1\theta)^2$ . Para una muestra $X_1, . . . , X_n$ de esta población, dejemos $N_1$ , $N_2$ y $N_3$ denotan el número de $X_j$ igual a $1$ , $2$ y $3$ respectivamente. Sea $0<\theta_0<\theta_1 <1$ .

Quiero mostrar que la razón de probabilidad $L(\mathbf{x},\theta_0,\theta_1)$ es una función creciente de $2N_1+N_2$ . Pude obtener la probabilidad como: $$L(p_1,p_2,p_3)=\frac{N!}{N_1!N_2!N_3!}p_1^{N_1}p_2^{N_2}p_3^{N_3}$$ donde $N=N_1+N_2+N_3$ y el $p_j$ son los correspondientes $f(j,\theta)$ .

Ahora estoy atascado en cómo mostrar esta relación, bajo $H_0$ : Las proporciones de HW, serían iguales a $$\theta^2=(\frac{2N_1+N_2}{N})^2$$

PS. La razón de probabilidad se define como: $$L(\mathbf{x},\theta_0,\theta_1)=\frac{p(\mathbf{x},\theta_1)}{p(\mathbf{x},\theta_0)}$$

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

El otro enfoque de @Henry's utiliza un poco más de información sobre el equilibrio Hardy-Weinberg: los tres tipos son los que tienen 0, 1 o 2 copias de un alelo particular de 2, y el HWE es la suposición de que las dos copias son independientes.

Bajo el HWE la distribución del número de copias para un individuo es $Binom(2,\theta)$ y así $$2N_1+N_2\sim Binom(2N,\theta)$$

Está claro que el LR de este modelo aumenta en $2N_1+N_2$ .

Escribe $Y=2N_1+N_2$ . La relación de probabilidad entre dos valores $\theta_0$ y $\theta_1$ es sólo $$\left(\frac{\theta_1}{\theta_0}\right)^Y\left(\frac{1-\theta_1}{1-\theta_0}\right)^{N-Y}$$ por lo que si el primer término es mayor que 1 y el segundo es menor que 1, ambos aumentan como $Y$ aumenta.

Answer 2

No está del todo claro lo que pregunta, pero si lo que busca es un estimador de máxima verosimilitud para $\theta$ basado en $$L(\theta \mid \mathbf{x}, HW) = \frac{(x_1+x_2+x_3)!}{x_1!\, x_2!\, x_3!} \left(\theta^2\right)^{x_1} \left(2\theta(1-\theta)\right)^{x_2} \left((1-\theta)^2\right)^{x_3}$$

entonces quieres diferenciar esto, o tomar el logaritmo de esto y luego diferenciarlo, para encontrar el $\theta$ que lo maximiza. La derivada, una vez ordenada, será algo así como $\frac{2x_1+x_2 -2\theta(x_1+x_2+x_3)}{\theta(1-\theta)}$ posiblemente multiplicado por la probabilidad original si no se tomó el logaritmo, lo que lleva a una derivada cero y a una probabilidad máxima cuando $$\hat \theta = \frac{2x_1+x_2}{2(x_1+x_2+x_3)}$$

Su resultado declarado sobre $\theta^2$ esencialmente al cuadrado y le falta un factor de $2$ o $2^2$ en el denominador. Debería haber sido $$\hat \theta^2 = \left(\frac{2x_1+x_2}{2(x_1+x_2+x_3)}\right)^2$$