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Explique por qué Ω1B(X+Y)XdP= , donde \mu_{X,Y} denota la distribución de (X,Y)

Dejemos que X,Y sean v.r. independientes en (\Omega, \mathscr{F}, P) teniendo la misma distribución, es decir, las medidas P\circ X^{-1}= P\circ Y^{-1} : \mathscr{B}(\mathbb{R}) \rightarrow [0,1] son iguales. También, E(|X|), E(|Y|)<\infty . Entonces E[X|X+Y]=E[Y|X+Y] .

En la prueba dada aquí , \mu_X , \mu_Y y \mu_{X,Y} denotan las medidas de distribución. No entiendo por qué

\int 1_B(X+Y)X \, dP = \int 1_B(x+y)x\,d\mu_{XY}(x,y)

Una pregunta más general sería,

si f= \hat {f} (X,Y):\Omega \rightarrow \mathbb{R} donde \hat{f} :\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} es medible por Borel, entonces se cumple que \int \hat{f}(X,Y) \, dP = \int \hat{f} \, d\mu_{X,Y}

2voto

pete Puntos 1

Dejemos que (\Omega,\mathcal A,\mathsf P) sea un espacio de probabilidad.

Cada vector de variable aleatoria X\to\mathbb R^n induce una medida de probabilidad \mathsf P_X en (\mathbb R^n,\mathcal B^n) .

Esto por B\mapsto\mathsf P(X\in B) o, por el contrario \mathsf P_X(B)=\mathsf P(X\in B) .

También podríamos escribir esta igualdad como \int 1_B(x)\mathsf P_X(dx)=\int 1_B(X(\omega))\mathsf P(d\omega)\tag1 En (1) utilizamos la función indicadora 1_B pero se puede extender a todas las funciones medibles de Borel: \int f(x)\mathsf P_X(dx)=\int f(X(\omega))\mathsf P(d\omega)

2voto

Friedrich Philipp Puntos 11

Considere la función (X,Y) : \Omega\to\mathbb R^2 . Esto define la medida pushforward \mu_{X,Y} = P\circ (X,Y)^{-1} en \mathbb R^2 . Es bien sabido que se integra una función medible f : \mathbb R^2\to\mathbb R en A\subset\mathbb R^2 con respecto a esa medida de la siguiente manera: \int_A f\,d\mu_{X,Y} = \int_{(X,Y)^{-1}(A)}f\circ (X,Y)\,dP. Aquí, A = \mathbb R^2 y f(x,y) = 1_B(x+y)\cdot x . Así que, (X,Y)^{-1}(A)= \Omega y f\circ (X,Y) = 1_B(X+Y)X .

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