Dejemos que X,Y sean v.r. independientes en (\Omega, \mathscr{F}, P) teniendo la misma distribución, es decir, las medidas P\circ X^{-1}= P\circ Y^{-1} : \mathscr{B}(\mathbb{R}) \rightarrow [0,1] son iguales. También, E(|X|), E(|Y|)<\infty . Entonces E[X|X+Y]=E[Y|X+Y] .
En la prueba dada aquí , \mu_X , \mu_Y y \mu_{X,Y} denotan las medidas de distribución. No entiendo por qué
\int 1_B(X+Y)X \, dP = \int 1_B(x+y)x\,d\mu_{XY}(x,y)
Una pregunta más general sería,
si f= \hat {f} (X,Y):\Omega \rightarrow \mathbb{R} donde \hat{f} :\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} es medible por Borel, entonces se cumple que \int \hat{f}(X,Y) \, dP = \int \hat{f} \, d\mu_{X,Y}