División de polinomio por polinomio sin resto

Question

Tengo dos polinomios: $$ Q(x)=x^{624} + x^{524} + x^{424} + x^{324} + x^{224} + x^{124} + x^{n} $$ $$ P(x) = x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 $$

Y la pregunta: ¿cuál es el mayor valor natural del número $n \leq 100 $ en el que el polinomio $Q(x)$ es divisible sin recordatorio por $P(x)$ ?

No tengo ni idea de la solución, ni siquiera sé de qué área de las matemáticas se trata.

Answer 1

En primer lugar, utilizando la fórmula de la serie geométrica, es fácil ver que

$$ P(x) = \sum_{i=0}^6 x^i = \frac{x^7-1}{x-1} $$

Si dejamos que $H(x) = Q(x)/P(x)$ para algún polinomio $H(x)$ Entonces, reordenando la ecuación se obtiene lo siguiente:

$$ (x-1)Q(x) = (x^7-1)H(x)\\ x^{625}-x^{624} + x^{525}-x^{524} + \dots+ x^{125}-x^{124} + x^{n+1}-x^n = (x^7-1)H(x) $$

Observa que podemos reducir las potencias en el lado izquierdo. Elige cualquiera de los términos, por ejemplo, $x^{625}$ . Entonces, dejando que $H(x) = x^{617} + J(x)$ obtenemos

$$ x^{625}-x^{624} + x^{525}-x^{524} + \dots+ x^{125}-x^{124} + x^{n+1}-x^n = x^{625}-x^{618} + (x^7-1)J(x)\\ x^{618}-x^{624} + x^{525}-x^{524} + \dots+ x^{125}-x^{124} + x^{n+1}-x^n = (x^7-1)J(x) $$

El lado derecho de la ecuación no ha cambiado desde $J(x)$ es un polinomio igual que $H(x)$ . Así, conseguimos reducir el plazo $x^{625}$ a $x^{618}$ . Como no hay nada especial en $x^{625}$ podríamos haber reducido la potencia de cada término en el lado izquierdo de forma similar. Y cada vez que lo hacemos, la potencia del término disminuye en 7.

Una vez que nos damos cuenta de esto, podemos seguir disminuyendo las potencias de los términos hasta que se cancelen. Por ejemplo, observa que $625\equiv 324\pmod 7$ por lo que si disminuimos la potencia de $x^{625}$ $ 43$ veces, obtendríamos $x^{324}$ que se anulará con $-x^{324}$ . De la misma manera, $x^{525}$ se anulará con $-x^{224}$ , $x^{425}$ se anulará con $-x^{124}$ , $-x^{624}$ se anulará con $x^{225}$ , $-x^{524}$ se anulará con $x^{125}$ . Nos quedamos con $-x^{424} + x^{325} + x^{n+1}-x^{n}$ . Tenemos que encontrar el mayor $n<100$ para que todo se anule. Desde $424\equiv 4\pmod 7$ y $325\equiv 3\pmod 7$ necesitamos $n+1\equiv 4\pmod 7$ , $n\equiv 3\pmod 7$ . Y el mayor $n<100$ con un remanente de $3$ cuando se divide por $7$ es $94$ .