Leyes formales de grupo VS Grupos formales de Lie

Question

Advertencia : esta es una pregunta suave sobre la terminología habitual, para asegurarme de que entiendo las cosas correctamente.

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Dejemos que $R$ sea cualquier anillo conmutativo y $n\geq 1$ . Considere la $R$ -Álgebra $\mathcal A = R[[X_1,\ldots,X_n]]$ de series de potencias formales sobre $R$ en $n$ variables. En lo sucesivo, denoto por $X$ el $n$ -suplemento de variables $(X_1,\ldots,X_n)$ y de forma similar para $Y$ y $Z$ .
A (conmutativo) $n$ -ley formal de grupo sobre $R$ son los datos de una familia de $n$ serie de potencias formal sobre $R$ en $2n$ variables $F(Y,Z)=(F_1(Y,Z),\ldots,F_n(Y,Z))$ que satisface las condiciones

• $X=F(X,0)=F(0,X)$
• $F(X,F(Y,Z))=F(F(X,Y),Z)$
• $F(X,Y)=F(Y,X)$

Estos datos nos permiten definir una nueva ley de grupo conmutativa $\star$ en $\mathcal A^n$ mediante la siguiente fórmula $$g(X)\star h(X) = F(g(X),h(X))$$ Mi pregunta es la siguiente:

¿Estoy en lo cierto al pensar en un "(conmutativo) $n$ -grupo formal de Lie sobre $R$ " como el grupo abeliano $(\mathcal A^n,\star)$ asociado a alguna ley formal $F(Y,Z)$ ¿que acabo de describir arriba?

La razón de mi confusión radica en el documento de Tate sobre $p$ -grupo divisible, donde para definir un grupo formal de Lie $\Gamma$ En realidad, sólo se define una ley de grupo formal. Más tarde veo expresiones como "puntos en $\Gamma$ ", o flechas $\Gamma \rightarrow \Gamma$ aunque el conjunto subyacente de $\Gamma$ no se ha definido con exactitud. Por lo tanto, estoy un poco inseguro sobre cómo pensar en ellos.
Puede encontrar el párrafo en cuestión aquí.

Answer 1

Esto es demasiado largo para un comentario, y debe considerarse que no es completo ni especialmente autorizado.

No es cierto que su $\mathcal A^n$ es un grupo bajo el $n$ -ley de grupos formales de dimensiones $F$ ya que no se pueden introducir las constantes de $R$ en la serie, a menos que tal vez $R$ tiene alguna estructura topológica completa.

Esta es la forma de hacer grupos utilizando su $n$ -f.g.l. dimensional $F$ en $R$ : Dejemos que $S$ sea cualquier $R$ -y el álgebra, y $\mathcal N_S$ sea el ideal de elementos nilpotentes de $S$ . Entonces $(\mathcal N_S)^n$ se convierte en un grupo bajo $F$ .

Alternativamente, si $S$ es un $R$ -con la propiedad adicional de que es completa bajo la topología dada por las potencias de un ideal $I\subset R$ entonces $I^n$ se convierte en un grupo bajo $F$ . Mejor, el ideal de todos $z\in R$ para el que existe $m$ con $z^m\in I$ Supongo que eso es $\sqrt I$ tiene la propiedad de que $(\sqrt I)^n$ se convierte en un grupo bajo $F$ .

Por ejemplo, si $R=\Bbb Z_p$ El $p$ -enteros y $S$ es el anillo de enteros de una extensión finita de $\Bbb Q_p$ con el ideal máximo $\mathfrak m$ entonces $\mathfrak m^n$ se convierte en un grupo bajo el $n$ -f.g.l. dimensional $F$ definido sobre $\Bbb Z_p$ .

Otro ejemplo: dejemos que $R$ sea un campo finito $k$ y $F$ ser un $n$ -f.g.l. de dimensiones sobre $k$ . Entonces puede tomar puntos de $F$ con valores en $k[[t]]$ series de potencias en una sola variable sobre $k$ . Se combinan dos $n$ -tuplas de elementos de $tk[[t]]$ es decir, series sin término constante, introduciéndolas en $F$ para conseguir otro $n$ -tupla de series en $t$ .