¿Cuál es la diferencia entre las matemáticas elementales y las avanzadas?

Question

En cualquier situación de resolución de problemas, si la solución no viene a la mente, uno se pregunta si es posible utilizar los métodos que tiene en mente, y si es algo que aún no ha aprendido, o que nunca se ha inventado.

Así que mi pregunta es: ¿Cómo se puede sistemáticamente averiguar qué tipo de matemáticas (métodos elementales o avanzados) se pueden utilizar

El ejemplo más famoso es el Conjetura de Collatz . A menudo se ha citado como el problema no resuelto más fácil de enunciar.

Lo que a primera vista parece un problema elemental.

Answer 1

No se puede decir.

• La ecuación de Pell es bastante fácil de resolver, los triples pitagóricos eran conocidos por los babilonios, el último marginal de Fermat duró cientos de años y requiere un trabajo de vanguardia en curvas elípticas generales.
• Bisecar un ángulo es fácil con regla y compás, trisecar un ángulo es imposible sin neusis.
• El área de un círculo es $\pi r^2$ . El área de una elipse es $\pi a b$ . La longitud de arco total de un círculo es $2\pi r$ la longitud de arco total de una elipse es $4 a E(e)$ , donde $E$ es una integral elíptica y $e$ la excentricidad.
• La cuadrática general es fácil de resolver, la cúbica y la cuádrica son más difíciles, pero más o menos, la quíntica es imposible en general.
• $\int e^{-x} \, dx$ es trivial, $\int e^{-x^2} \, dx$ no es una función elemental. $\int \sqrt{\sin{x}} \, dx $ es elíptica, $\int \sqrt{\tan{x}} \, dx$ es elemental.

Por último, durante mucho tiempo se pensó que el Teorema de los números primos era un resultado profundo que requería un análisis complejo. Hardy comentó en 1921:

No se conoce ninguna demostración elemental del teorema de los números primos, y cabe preguntarse si es razonable esperar una. Ahora sabemos que el teorema es aproximadamente equivalente a un teorema sobre una función analítica, el teorema de que la función zeta de Riemann no tiene raíces en una determinada recta. Una demostración de tal teorema, que no depende fundamentalmente de la teoría de las funciones, me parece extraordinariamente improbable. Es precipitado afirmar que un teorema matemático no puede de una manera particular; pero una cosa parece bastante clara. Tenemos ciertos puntos de vista sobre la lógica de la teoría; pensamos que algunos teoremas, como decimos, "son profundos" y otros están más cerca de la superficie. Si alguien produce una demostración elemental del teorema de los números primos, demostrará que estas opiniones son erróneas, que el tema no encaja de la manera que hemos supuesto, y que es hora de desechar los libros y reescribir la teoría.

Luego, en 1948, Selberg y Erdős produjeron pruebas elementales .