Racionalizar el denominador: $\frac{11}{3\sqrt{3}+7}$

Question

Para mis deberes, me han pedido que racionalice y simplifique este surd;

$$\frac{11}{3\sqrt{3}+7}$$

Cada vez que lo hago, obtengo una respuesta incorrecta. El método que estoy utilizando es;

$$ \frac{11}{3\sqrt3+7} \times \frac{3\sqrt3-7}{3\sqrt3-7} $$

Terminé con $$\frac{33+11\sqrt3-77}{9+3+21+7\sqrt3-21-7\sqrt3}$$

Esto no es ni de lejos la respuesta correcta, incluso una vez simplificada. ¿Puede alguien decirme en qué me estoy equivocando?

Muchas gracias.

Answer 1

Estás multiplicando erróneamente $\rm\; a * b\sqrt{3} \ =\ ab + a\sqrt{3}\:\,\;$ pero $\rm\; ab\:\sqrt{3}\;$ es correcto.

En otras palabras $\rm\; b\:\sqrt{3}\;$ significa $\rm b * \sqrt{3}\:,\;$ no $\rm\; b + \sqrt{3}\:.$

Además, para racionalizar el denominador utiliza $\rm\; (a+b\sqrt 3)\:(a-b\sqrt 3)\ =\ a^2 - 3 b^2$

Answer 2

¿Quiere decir racionalizar

$$ \frac{11}{3\sqrt{3}-7} \qquad \text{?} $$

¿Y estás seguro de que estás intentando

$$ \frac{11}{3\sqrt{3}-7} \cdot \frac{3\sqrt{3} + 7}{3\sqrt{3} + 7}\qquad \text{?} $$

En general, Wikipedia también es casi siempre de gran ayuda.

Answer 3

SUGERENCIA: El truco general es $$ \frac{1}{\sqrt{a}+b}=\frac{\sqrt{a}-b}{(\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b)}=\frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}. $$

Answer 4

Después de multiplicar el numerador y el denominador por $3\sqrt3-7$ el nuevo denominador es $$(3\sqrt 3+7)(3\sqrt3-7)=(3\sqrt3)^2-7^2=27-49=-22$$ un buen número entero por el que dividir.

Answer 5

Aparentemente cometiste un pequeño error operativo al interpretar $ 3\sqrt{3} + 7 $ como su conjugado, $ 3\sqrt{3} - 7 $ . La forma correcta de racionalizar el denominador que contiene un radical es eliminar ese radical multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador del radical original, $ 3\sqrt{3} - 7 $ :

$$ \frac{11}{3\sqrt{3} + 7} \times \frac{3\sqrt{3} - 7}{3\sqrt{3} - 7} $$

Multiplicando la expresión anterior se obtiene:

$$ \frac{33\sqrt{3} - 77}{9\cdot3 - 21\sqrt{3} + 21\sqrt{3} - 49} $$

Cancelación de la $ 21\sqrt{3} $ en el denominador y simplificando,

$$ \frac{33\sqrt{3} - 77}{9\cdot3 - 21\sqrt{3} + 21\sqrt{3} - 49} = \frac{33\sqrt{3} - 77}{27 - 49} = \frac{33\sqrt{3} - 77}{-22} = -\frac{33\sqrt{3} - 77}{22}$$