Verificación de la prueba : La convergencia casi segura implica la convergencia en probabilidad

Question

VERIFICACIÓN DE LA PRUEBA

Demuestre que la convergencia casi segura implica la convergencia en probabilidad.

Definimos $$A:=\{ \in :X_n() \to X() \text{ as } n \to \infty\}.$$ Por convergencia casi segura, tenemos $P(A)=1$ . Defina también $$A_n():=\{ \in :|X_n()-X()|<\}.$$ La convergencia en probabilidad equivale a $\lim\limits_{n \to \infty} P(A_n())=1$ por cada $ > 0$ que es lo que queremos mostrar. Ahora, $ \in A \implies \omega \in A_n()$ para un tamaño suficientemente grande $n$ $[\geq N=N()]$ . Por lo tanto, $P(A) \leq P(A_n)$ para $n \geq N=N()$ . Así, $$\lim_{n \to \infty} P(A_n()) \geq P(A)=1.$$

Esto da el resultado ya que $>0$ se elige arbitrariamente. Lo que me preocupa es que la prueba parece sorprendentemente sencilla. ¿Me estoy perdiendo algo? Gracias de antemano.

Answer 1

Su argumento es completamente inválido: $\omega \in A$ implica $\omega \in A_n(\epsilon )$ para $n > N(\epsilon , \omega)$ . $N(\epsilon , \omega)$ puede depender de $\omega $ lo que hace que el argumento sea erróneo. Aquí hay una prueba correcta: $0=P\{\limsup \{|X_n-X| >\epsilon \}\geq \limsup P\{|X_n-X| >\epsilon \}$ lo que demuestra la convergencia en probabilidad.