"Libertad de calibre" en GR

Question

Cuando derivamos las ecuaciones para las ondas que se propagan en la RG, tenemos que hacer una elección gauge para obtener algo único. Entiendo que en electromagnetismo, el gauge no es en general algo medible, sólo la fuerza o al menos alguna integral de línea $\int\!dx^\mu A_\mu$ . Pero en la RG, ¿no es la métrica siempre medible? Después de todo, cada observador tiene un tiempo propio local que puede medir en su reloj, y unas distancias propias que puede medir con una vara de medir mucho más corta que el radio de curvatura. Si insisto en utilizar estas coordenadas para describir mi espacio, no veo cómo puede quedar ninguna libertad gauge.

Más concretamente, cuando "yo" construyo LIGO y mido la señal, obtengo algo único. No hay ninguna elección de calibre hecha conscientemente. ¿Por qué la RG me da algo ambiguo?

Answer 1

Esta es una cuestión que me confundía cuando aprendía relatividad general. En la relatividad especial, ponemos mucho énfasis en el significado físico de las coordenadas, mientras que en la relatividad general las tratamos como algo casi completamente arbitrario. Como se sabe, la cuestión es que una vez que se tiene la curvatura del espaciotiempo, se no puede definir la red habitual de relojes y reglas en todas partes, por lo que la prescripción de la relatividad especial falla. Y una vez que perdemos eso, también podríamos permitir sistemas de coordenadas completamente generales, porque eso es lo que las matemáticas nos permiten hacer de todos modos.

Supongo que tu pregunta es, una vez que descartas los sistemas de coordenadas "irracionales", y te centras en los que son como los de la relatividad especial, y te centras en los campos débiles, ¿por qué queda alguna redundancia? La cuestión es que "medir la métrica" es mucho más ambiguo físicamente de lo que parece.

Por ejemplo, centrémonos en un brazo de LIGO. El tubo que contiene el brazo es un objeto rígido, por lo que es razonable fijar $g_{ii} = 1$ en todo el brazo. Después de todo, eso es lo que queremos decir con que LIGO es una regla, ¿no? Y el otro brazo es claramente perpendicular a él, así que tratándolo de forma similar, tenemos además $g_{ij} = \delta_{ij}$ . Y los pulsos láser que alimentan a LIGO funcionan efectivamente como relojes extremadamente precisos. Esto debería sincronizar el tiempo entre los dos brazos, por lo que sólo deberíamos tener $g_{tt} = -1$ en todas partes, ¿verdad? Y obviamente porque podemos imaginar a los gobernantes sincronizando el tiempo en todo cada brazo, no debería haber $dt \, dx$ términos cruzados, por lo que $g_{i0} = 0$ .

Bueno, si usted asume todas estas cosas, entonces usted ha asumido efectivamente que $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$ . En otras palabras, has asumido que estás en un espacio-tiempo plano, ¡y por lo tanto has prohibido cualquier onda gravitacional! La cuestión es que no se pueden satisfacer todas estas restricciones físicas perfectamente razonables de forma simultánea. significa para que haya curvatura del espacio-tiempo. (Sí, se pueden satisfacer aproximadamente si la longitud efectiva de su montaje es mucho menor que la longitud de onda de la onda gravitacional. Precisamente por eso LIGO es tan grande como es: este argumento demuestra que si fuera mucho más pequeño, no podría ver las ondas gravitacionales de forma efectiva).

El hecho de que exista una redundancia de calibres sólo te dice, esencialmente, que puedes elegir cuál de estos supuestos dejar de lado, y obtener la misma respuesta en cada caso. La opción estándar, y posiblemente menos confusa, es el calibre transversal sin trazas, en el que mantenemos $g_{00} = -1$ y $g_{0i} = 0$ pero podrías hacer otra.

Answer 2

Creo que su confusión queda recogida de forma más concisa en esta parte de su pregunta:

Si insisto en utilizar estas coordenadas para describir mi espacio, no veo cómo puede quedar ninguna libertad galvánica.

Sin entrar en la discusión que ha surgido en los comentarios a tu pregunta sobre si tu elección particular de coordenadas tiene sentido, es generalmente cierto que una vez que eliges un conjunto de coordenadas, haces no que le quede alguna libertad de calibre. La libertad gauge en la relatividad general es exactamente la libertad de elegir sus coordenadas. Ni más ni menos.

Creo que lo más natural es verlo a través de una descomposición ADM a 3+1 dimensiones. (La parte de tu pregunta sobre las ondas gravitacionales también se computa en este formalismo, o en una variante del mismo). Asumiendo por simplicidad en este punto una solución de vacío, si $g_{\mu\nu}$ es la métrica de su espaciotiempo, Arnowitt, Deser y Misner demostraron en los años 50 que si se toma una foliación de hipersuperficies parecidas al espacio, se puede descomponer en una métrica 3 inducida en las superficies $\gamma_{ij}$ más y la función "lapso" $\alpha$ y un vector de desplazamiento $\beta^i$ . Estos están relacionados por $$ \left( \begin{array}{cc} g_{00} & g_{0j} \\ g_{i0} & g_{ij} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \beta_k \beta^k - \alpha^2 & \beta_j \\ \beta_i & \gamma_{ij} \end{array} \right) $$ donde el índice del turno se rebaja con la métrica 3, $\beta_k = \gamma_{ik} \beta^i$ . También hay un campo conjugado $\pi^{ij}$ en este formalismo que permiten las derivadas temporales (de coordenadas) $\partial_t \gamma_{ij}$ para ser expresadas como EDP de primer orden en el tiempo.

No voy a escribir aquí todas las ecuaciones porque están fácilmente disponibles, pero hacer esta división divide las ecuaciones de Einstein en dos tipos de ecuaciones: Hay dos ecuaciones de "evolución" para $\gamma_{ij}$ y para $\pi^{ij}$ y hay dos ecuaciones de restricción. Las restricciones son una restricción escalar llamada restricción hamiltoniana y una restricción de 3 vectores, conocida como restricción de momento. (Esto es análogo, respectivamente, en EM a las dos ecuaciones de Maxwell que tienen derivadas temporales y a las dos que no las tienen).

Tanto en la formulación 3+1 de la RG como en las ecuaciones de Maxwell, se puede demostrar que las "restricciones se propagan". Esto significa que si las restricciones se satisfacen en un momento dado, se satisfacen en todo momento. Véase, por ejemplo, el apéndice de Wald, que trata esto con gran detalle.

Ahora bien, tenga en cuenta que el lapso y el desplazamiento son sus campos "gauge" en este formalismo . No tienen ningún significado físico. En particular, no aparecen en la restricción hamiltoniana ni en la restricción de momento, lo que es análogo al hecho de que los campos gauge EM no aparecen en las ecuaciones de restricción $\nabla \cdot E = 0$ o $\nabla \cdot B = 0$ (de nuevo asumiendo el vacío). El hecho de que no aparezca en las ecuaciones de restricción significa que si tiene alguna ( $\gamma_{ij}$ , $\pi^{ij}$ ) que satisfagan las ecuaciones de restricción en cualquier momento, es decir, que sean "físicas" en cualquier momento, se puede construir una solución a las ecuaciones de Einstein completas para cualquier elección de lapso y turno resolviendo las ecuaciones de evolución como un problema de valor inicial, debido a que las restricciones se propagan, como se mencionó anteriormente.

En segundo lugar, Obsérvese que la elección del lapso y el desplazamiento son esencialmente equivalentes a una elección de coordenadas . Se pueden encontrar figuras de esto en muchas referencias, incluyendo MTW y Wald, pero básicamente se puede demostrar que entre dos superficies "cercanas" $\Sigma_0$ y $\Sigma_1$ un punto $x$ en $\Sigma_0$ tendrá la misma coordenada espacial que un punto $y$ en $\Sigma_1$ si $y \approx x + \alpha n + \beta$ , donde $n$ es normal que $\Sigma_0$ en $x$ . También tienes que el lapso es proporcional al tiempo propio (en lugar del tiempo de coordenadas) entre rodajas.

Así que, en cierto sentido, tienes razón en tu queja. Una vez que fijas las coordenadas, no te queda libertad de calibre. Cuando construyas tu "LIGO personal", según el final de tu pregunta, habrás hecho efectivamente tu elección de coordenadas, ya que las coordenadas "naturales" para tu configuración estarán determinadas por la forma en que dispongas los brazos de tu detector, dándote un sistema de coordenadas rectangulares en tus "rebanadas espaciales". En la región de campo débil de la Tierra, eso será completamente compatible con el lapso unitario y el desplazamiento cero, es decir, el espacio de Minkowski que habrías linealizado para calcular tu solución de onda en el detector.

Incluso con esta comprensión, todavía se pueden encontrar los efectos del calibre. Cuando finalmente detectes una onda en tu LIGO personal, tendrá una polarización, que probablemente descompondrás en polarizaciones "plus" y "cross". Si giras tu detector, lo cual es efectivamente una elección de calibre diferente, mezclarás esas polarizaciones de manera diferente para una señal dada. Este es probablemente el más sencillo de los múltiples factores que tienes que "ajustar" entre tu cálculo teórico de la onda -donde tienes que fijar el calibre- y tu configuración real del detector sobre el terreno. Este es el otro extremo de tu error/confusión. Cuando haces la teoría, si quieres que coincida con tu detector, no sólo tienes que elegir un calibre, sino que tienes que elegir un calibre que sea compatible con la forma en que vas a leer los resultados de tu detector. No puedes elegir cualquier calibre que te guste e intentar utilizar los resultados del cálculo directamente con tu detector.

Answer 3

Sólo las cantidades invariantes por difeomorfismo son medibles. La métrica no tiene esta propiedad.

''cada observador tiene un tiempo propio local que puede medir en su reloj, y distancias propias que puede medir con una vara de medir mucho más corta que el radio de curvatura. Si insisto en utilizar estas coordenadas para describir mi espacio''

No se trata de coordenadas, sino de funciones de dos posiciones del espaciotiempo. Estas posiciones tienen valores numéricos diferentes en distintos sistemas de coordenadas. Para obtener algo invariante por difeomorfismo hay que describir estos dos puntos de forma invariante, por ejemplo, como puntos extremos de dos campos escalares (digamos, de la norma de un gradiente de densidad, o de la temperatura).

En términos más generales, en la medida en que puedas definir tu marco local en términos invariantes (con suficiente materia localmente cercana puedes hacerlo aproximadamente, esto es lo que hace un GPS) rompes la invariancia del difeomorfismo hasta tal punto que puedes hacer observables localmente campos arbitrarios.

''Creo que la primera métrica es la que mido usando tres varas de medir ortogonales, no la segunda''. (de un comentario en otro post aquí)

Este es un ejemplo de lo que quería decir. Específicamente, aquí implícitamente planteas una pieza rígida de materia hecha de palos de tres metros unidos ortogonalmente en un origen, y planteas además que esto define un sistema de coordenadas cartesianas. Esto fija el sistema de coordenadas espaciales localmente, y por lo tanto por extensión a través del mapa exponencial en una carta válida en la medida en que la curvatura no sea demasiado grande para hacer que el mapa exponencial no sea único. Trabajando en el marco de reposo de este trozo de materia, y colocando sobre él un reloj y un equipo láser para localizar otra materia puedes extender esto a una prescripción para definir un sistema de coordenadas Minkowski de marco particular para el espaciotiempo localmente, seguramente extendiéndose a todo el sistema solar (donde la curvatura es diminuta). De este modo se fija un sistema de coordenadas y con él toda la libertad gravitatoria gauge.

''Más concretamente, cuando "yo" construyo LIGO y mido la señal, obtengo algo único. No hay ninguna elección de calibre que se haga conscientemente. ¿Por qué la RG me da algo ambiguo?''

Como puede ver, con una aportación suficiente a nivel de materia, no queda nada ambiguo.

A partir de aquí sólo se trabaja en el calibre armónico y en una descomposición particular en el espacio y el tiempo. Cerca del sistema solar, las ecuaciones de campo pueden linealizarse, y la gravitación se reduce a ecuaciones de onda lineales acopladas para las componentes del campo métrico. Estas ecuaciones permiten soluciones de ondas gravitacionales que fueron detectadas por LIGO.

Nótese que los medidores empleados por LIGO sólo fijan el sistema de coordenadas local, no la métrica, que sigue siendo un objeto dinámico. Al extender el sistema de coordenadas local mediante el mapa exponencial, no se necesitan medidores lejanos; todo lo que se mide en LIGO es local (es decir, en la Tierra) pero los efectos de curvatura lejanos siguen siendo medibles indirectamente a través de las ondas gravitacionales que producen.

Answer 4

Gracias por todas vuestras magníficas respuestas. Estoy escribiendo una respuesta propia aquí, para resumir lo que he recogido de todas vuestras respuestas. Los comentarios son bienvenidos.

1. Las longitudes físicas (definidas como la longitud de alguna curva espacial) son invariantes de coordenadas. Por ejemplo, en LIGO, la longitud de mi brazo detector (supongamos que se encuentra a lo largo de la dirección x), es $$\ell = \int_{\ell_1}^{\ell_2} g_{xx}^{1/2} dx$$ donde $\ell_1$ y $\ell_2$ son los dos puntos extremos del brazo, en alguna coordenada temporal igual que yo defino. Aunque cambie las coordenadas a $x'$ definiendo $x=f(x')$ para algunos legales $f(x')$ La métrica cambiará de manera exacta para compensar esto. En cierto sentido, ésta es la definición de la métrica.

2. Puedo elegir la hora y la distancia adecuadas como coordenadas locales. Entonces mi métrica se parecerá a la de Minkowski localmente (por ejemplo, en uno de los extremos del brazo detector). Pero no puedo hacer esto globalmente porque el espacio es curvo. Por lo tanto, una vez que me encuentro fuera de alguna zona del punto final de mi brazo, no puedo utilizar $dx$ para integrar la longitud del brazo; necesito usar $g^{1/2}_{xx}dx$ .

3. Todas las cantidades físicas que calculo, por ejemplo en el caso de las ondas gravitacionales, son algún tipo de intervalo de espaciotiempo u otra cantidad invariante. Como tal, realmente no importa qué coordenadas utilice, siempre que me atenga a las cantidades invariantes.

4. Una elección de calibre no define completamente las coordenadas, pero me restringe a una clase de coordenadas. También hace que los cálculos sean factibles. Así que es una forma conveniente de hacer el cálculo sin perder demasiada generalidad (que sin duda perdería eligiendo coordenadas específicas).

Answer 5

No es una respuesta muy larga, así que iba a publicarla en los comentarios, pero supongo que es mejor así.

La métrica no es sólo una función del espaciotiempo, sino que depende de su sistema de coordenadas. $g_{\mu \nu}=\hat{e}_{\mu}\cdot\hat{e}_\nu$ . Elija diferentes coordenadas (esféricas, rectangulares) y el producto interno de los vectores base también cambiará $\implies g_{\mu\nu}$ cambiará, aunque nada físico sea diferente. Hay información física codificada en la métrica; se pueden escribir todos los tensores de curvatura en términos de $g_{\mu\nu}$ pero cada uno de los componentes no es directamente medible. Esto es cierto en SR y GR. Comprueba las componentes de coordenadas esféricas de la métrica en el espacio plano, por ejemplo: en coordenadas rectangulares son (-1,1,1,1), pero en coordenadas esféricas no lo son (ver aquí ) a pesar de que ambas situaciones tienen espacios-tiempo idénticos (planos). Obsérvese que el enlace que he utilizado sólo da $g_{rr}, g_{\theta\theta}, g_{\phi\phi}$ . Una métrica 4d también tendría $g_{tt}=-1$ y todos los demás componentes $0$ .