$M_n$ es el espacio de $n\times n$ matrices con entradas en $\mathbb R$ . $GL_n\subset M_n$ es el espacio de todas las matrices invertibles. Sea $A\in {GL}_n$ . Quiero demostrar que $$\inf_{B\text{ is singular}}\| A-B\|_2=\frac{1}{\|A^{-1} \|_2}$$ Esto es lo que he probado hasta ahora:
En primer lugar, ya que $\|A-B \|_2\geq \|B\|_2-\|A\|_2$ el infemum se alcanza en algún momento digamos $B_0$ . Entonces intenté utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange y consideré la función $$F:M_n\times \mathbb R\rightarrow \mathbb R $$ $$(B,\lambda)\mapsto \|B-A \|_2^2+\lambda \det B$$$\frac{\partial F}{\partial\lambda}=\det B$
$\frac{\partial F}{\partial B_{ij}}=2(B_{ij}-A_{ij})+\lambda (-1)^{i+j}B^{ij}$ donde $B^{ij}$ es el $(i,j)$ cofactor.
Quiero resolver las ecuaciones $\frac{\partial F}{\partial\lambda}=0,\frac{\partial F}{\partial B_{ij}}=0$ pero estoy atascado allí. Tampoco se me ocurre otra forma de enfocar este problema. Gracias por su ayuda.
Respuesta
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En un entorno más general, considere cualquier norma de operador $\|\cdot\|$ inducido por una norma vectorial (que también denotamos por $\|\cdot\|$ ). Si $A+H$ es singular, entonces $HA^{-1}x=-x$ para algún vector no nulo $x$ . Por lo tanto, $$ \|H\|\|A^{-1}\|\|x\|\ge\|HA^{-1}x\|=\|-x\|=\|x\| $$ y a su vez $\|H\|\ge\|A^{-1}\|^{-1}$ . Para demostrar que el límite inferior es alcanzable, defina la norma dual de $\|\cdot\|$ así como la norma dual de la norma dual por $$ \|v^T\|_\ast=\max_{\|u\|=1}v^Tu, \quad\|u\|_{\ast\ast}=\max_{\|v^T\|_\ast=1}v^Tu. $$ En $\mathbb R^n$ se sabe que la norma dual de la norma dual es la norma primal, es decir $\|\cdot\|_{\ast\ast} =\|\cdot\|$ . Sea $x$ sea un vector unitario tal que $\|A^{-1}\|=\|A^{-1}x\|$ . Sea $u=\frac{A^{-1}x}{\|A^{-1}x\|}$ y $y^T=\arg\max_{\|v^T\|_\ast=1}v^Tu$ . Por definición, tenemos $\|y^T\|_\ast=1$ y $y^Tu=\|u\|_{\ast\ast}=\|u\|=1$ . Ahora defina $$ H=-\|A^{-1}\|^{-1}xy^T. $$ Entonces $(A+H)A^{-1}x=x-xy^T\frac{A^{-1}x}{\|A^{-1}\|}=x-xy^Tu=x-x=0$ . Por lo tanto, $A+H$ es singular. También, \begin{aligned} \|H\| &=\max_{\|z\|=1}\|Hz\|\\ &=\max_{\|z\|=1}\left\|\|A^{-1}\|^{-1}xy^Tz\right\|\\ &=\|A^{-1}\|^{-1}\|x\|\max_{\|z\|=1}|y^Tz|\\ &=\|A^{-1}\|^{-1}\|x\|\|y^T\|_\ast\\ &=\|A^{-1}\|^{-1}. \end{aligned} Por lo tanto, el límite inferior $\|A^{-1}\|^{-1}$ para la distancia de $A$ a la matriz singular más cercana es alcanzable.
En su caso, como la norma en cuestión es la inducida $2$ -La prueba puede simplificarse significativamente. Una vez que se ha demostrado que $\|H\|$ está necesariamente acotado por debajo de $\|A^{-1}\|^{-1}$ se puede demostrar que el límite inferior es alcanzable considerando $H=-\|A^{-1}\|^{-1}xy^T$ con $y=\frac{A^{-1}x}{\|A^{-1}x\|_2}$ . No es necesario considerar ninguna norma dual.
