Encontrar un homeomorfismo entre una parte de la bola y una parte del plano euclidiano

Question

Así que tengo dos espacios topológicos en el plano euclidiano que se definen como:

$X=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|x<0,y<0, x^2+y^2<4\}$

$Y=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|x>1,y<-1\}$

Así que tengo un cuarto de bola en el tercer cuadrante y otro es sólo un rectángulo infinito si puedo llamarlo así.

Así que me pregunto cómo puedo encontrar un homeomorfismo entre estos dos espacios.

Gracias de antemano.

Answer 1

Se podría pensar en el homeomorfismo de $X$ a $Y$ como la composición de tres homeomorfismos. Uno es el homeomorfismo estándar $\phi$ de la bola unitaria al plano (restringido a $X$ ), los otros dos son la rotación $r$ en 90 grados y la traslación $t$ por $(1,-1)$ .

El mapa concreto entonces es:

$f(x,y)=t\circ r\circ\phi(x,y)=t\circ r (\frac{(x,y)}{1- \Vert(x,y)\Vert^2})=t(\frac{(-y,x)}{1- \Vert(x,y)\Vert^2})=(1,-1)+\frac{(-y,x)}{1- \Vert(x,y)\Vert^2}$

Answer 2

PISTA: Piensa en el diagrama de Argand https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_plane con el balón parado no en el punto $(0,0)$ pero $(1,-1)$ .

Answer 3

Sugerencia: Comience con un ajuste más fácil: $X'= \{(x,y):x> 0,y>0, x^2+y^2 < 1 \},$ $Y' = \{(x,y): x> 0, y>0\}.$ El mapa

$$(x,y) \to \frac{(x,y)}{1-(x^2+y^2)}$$

es entonces un homeomorfismo de $X'$ en $Y'.$ Estás a sólo unos simples mapas de distancia de esto.