Comprender la aproximación lineal

Question

Estoy tratando de entender la parte citada a continuación con más o menos rigor.

$x \approx x_0 \implies f(x) \approx m(x - x_0) + f(x_0)$

Ya lo intenté una vez aquí abajo, pero me di cuenta de que ese método no funciona:

Aproximación de una función a un valor

Ahora he encontrado un teorema (que he vuelto a escribir) que creo que funciona.

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Teorema:

Una función $f: \mathbb R \to \mathbb R$ es diferenciable en $x_0$ si hay algún número $m$ y una función $\varphi$ s.t.

1. $\displaystyle{\lim_{h \to0}\varphi(h) = 0},$
2. $\displaystyle{f(x_0 +h) = f(x_0) + mh + \varphi(h)h}$

Prueba:

Supongamos que $f$ es diferenciable. Entonces $f'(x_0) = \displaystyle{\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}}$ existe. Considere $\displaystyle{\phi(h) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - f'(x_0)}$ . Esta función satisface las dos condiciones anteriores.

Ahora supongamos que existe $m, \varphi$ siempre que se cumplan las dos condiciones anteriores. Entonces $\displaystyle{f'(x_0) =\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{mh + \varphi(h)h}{h} = \lim_{h \to 0}(m + \varphi(h)) = \lim_{h \to 0}m + \lim_{h \to 0} \varphi(h) = m +0 = m.}$ Desde $m$ es un número real que existe, también lo es $f'(x_0)$ que significa $f$ es diferenciable $\blacksquare$

Derivando la declaración original:

Sustitución de $h$ por $x - x_0$ en la segunda condición anterior obtenemos $f(x) = f(x_0) + m(x - x_0) + \varphi(x - x_0)(x- x_0)$ . Si $x$ están muy cerca de $x_0$ entonces $x - x_0$ es muy pequeño. Así, $\varphi(x - x_0)(x- x_0)$ es un número minúsculo que significa para $x$ cerca de $x_0$ tenemos $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).$

Mis preguntas:

1. ¿Es correcta la prueba anterior?
2. ¿Tiene sentido la derivación?

Answer 1

La afirmación es falsa. Se convierte en verdadera si la "función $\varphi$ " se sustituye por "función $\varphi$ continua en $0$ y tal que $\varphi(0)=0$ ". En realidad usaste esto en tu prueba cuando escribiste que $\lim_{h\to0}\varphi(h)=0$ . Por lo tanto, tu prueba es correcta si la vemos como una prueba de esta nueva versión del teorema.

Y, sí, la derivación es correcta.