Tengo las variables aleatorias exponenciales i.i.d. $X_1, \dots, X_n$ con las funciones de densidad
$$f(x; \sigma, \tau)= \begin{cases} \dfrac{1}{\sigma} e^{-(x - \tau)/\sigma} &\text{if}\, x\geq \tau\\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$
Quiero calcular la estadística suficiente para $(\sigma, \tau)$ . He calculado la probabilidad de la siguiente manera:
$$\begin{align} L(\sigma, \tau; \mathbf{x}) &= \prod_{i = 1}^n \dfrac{1}{\sigma} \exp{\left\{ \dfrac{-(x_i - \tau)}{\sigma} \right\}} \mathbb{1}_{x \ge \tau} \\ &= \dfrac{1}{\sigma^n} \exp{\left\{ \dfrac{1}{\sigma} \sum_{i = 1}^n -(x_i - \tau) \right\}} \mathbb{1}_{x \ge \tau} \end{align}$$
Por lo general, utilizo el Teorema de factorización de Fisher-Neyman y factorizarlo en la forma $L(\sigma, \tau; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), (\sigma, \tau)) \times h(\mathbf{x})$ , donde $T(\mathbf{X})$ es la estadística suficiente. Sin embargo, los ejemplos que he visto de personas que resuelven esto implican algunas expresiones que involucran muchas $\min$ valores. Por lo que puedo decir, esto ocurre debido a la $\mathbb{1}_{x \ge \tau}$ Lo cual tiene sentido. Sin embargo, el problema es que no entiendo muy bien por qué se dan los distintos "pasos", por lo que no puedo seguir el razonamiento. Entonces, para un problema como éste, ¿cómo se calcula la estadística suficiente para $(\delta, \tau)$ ? ¿Y cuál es el razonamiento que se hace?