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¿Cuál es el razonamiento para encontrar el estadístico suficiente para la distribución exponencial desplazada?

Tengo las variables aleatorias exponenciales i.i.d. $X_1, \dots, X_n$ con las funciones de densidad

$$f(x; \sigma, \tau)= \begin{cases} \dfrac{1}{\sigma} e^{-(x - \tau)/\sigma} &\text{if}\, x\geq \tau\\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$

Quiero calcular la estadística suficiente para $(\sigma, \tau)$ . He calculado la probabilidad de la siguiente manera:

$$\begin{align} L(\sigma, \tau; \mathbf{x}) &= \prod_{i = 1}^n \dfrac{1}{\sigma} \exp{\left\{ \dfrac{-(x_i - \tau)}{\sigma} \right\}} \mathbb{1}_{x \ge \tau} \\ &= \dfrac{1}{\sigma^n} \exp{\left\{ \dfrac{1}{\sigma} \sum_{i = 1}^n -(x_i - \tau) \right\}} \mathbb{1}_{x \ge \tau} \end{align}$$

Por lo general, utilizo el Teorema de factorización de Fisher-Neyman y factorizarlo en la forma $L(\sigma, \tau; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), (\sigma, \tau)) \times h(\mathbf{x})$ , donde $T(\mathbf{X})$ es la estadística suficiente. Sin embargo, los ejemplos que he visto de personas que resuelven esto implican algunas expresiones que involucran muchas $\min$ valores. Por lo que puedo decir, esto ocurre debido a la $\mathbb{1}_{x \ge \tau}$ Lo cual tiene sentido. Sin embargo, el problema es que no entiendo muy bien por qué se dan los distintos "pasos", por lo que no puedo seguir el razonamiento. Entonces, para un problema como éste, ¿cómo se calcula la estadística suficiente para $(\delta, \tau)$ ? ¿Y cuál es el razonamiento que se hace?

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Stacker Puntos 6

Hay un indicador para cada observación, por lo que es así. La probabilidad de una sola observación es $$f(x;\sigma,\tau)=\frac 1 \sigma e^{-(x-\tau)/\sigma} \mathbb 1_{x\ge\tau}$$ por lo que la probabilidad para nuestra muestra es $$\begin{split}L(\sigma,\tau;\textbf x)&=\frac 1 {\sigma^n}\exp\left\{- \frac 1 \sigma\sum_{i=1}^n (x_i-\tau)\right\}\prod_{i=1}^n\mathbb 1_{x_i\ge \tau}\\ &\propto\exp\left\{-\frac 1 \sigma\left(\sum x_i-n\tau\right)\right\}\mathbb 1_{\min(x_i)\ge \tau}\end{split}$$

donde el min proviene del hecho de que los indicadores deben ser todos $1$ para que la probabilidad sea distinta de cero, de lo contrario se observó un punto de datos imposible, por lo que toda la probabilidad es $0$ (de lo contrario, sólo evalúa la probabilidad de los datos). Por tanto, la expresión del producto es la misma, ya que necesitamos que el menor valor observado sea al menos el límite inferior.

Por lo tanto, la estadística suficiente conjunta es $\left(\sum_i x_i, \min\{x_i\}\right)$ .

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