Encuentre todos los polinomios no constantes P tales que P({X})={P(X)}

Question

Encuentra todos los polinomios no constantes $P$ que satisfacen $P(\{X\})=\{P(X)\}$ , donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$ .

He intentado demostrar que el polinomio en cuestión es lineal, pero no se me ocurre cómo demostrarlo, sobre todo porque no sabemos nada de las constantes

Answer 1

Sugerencia

$P(\{X\})$ es periódica con un periodo de $1$ (ya que $\{X+1\}=\{X\}$ ), por lo que $\{P(X)\}$ también es periódica sólo si $P(X)$ es lineal, porque para los no lineales $P(X)$ (WLOG suponemos que $\lim_{x\to\infty} P(X)=\infty$ ), definiendo $$ I_k=\{x: k\le P(x)<k+1\}\quad,\quad k\in\Bbb Z $$ tenemos $$\lim_{k\to \infty}|I_k|=0$$ lo que significa que $\{P(X)\}$ no puede ser periódica y la afirmación se demuestra $\blacksquare$