Comprendiendo los valores de verdad de las declaraciones lógicas básicas.

Question

Estoy empezando un curso sobre demostraciones y nuestros dos primeros capítulos han sido sobre teoría de conjuntos y lógica, ambos de los cuales he entendido hasta cierto punto. Sin embargo, una de mis preguntas de tarea me pide lo siguiente y no estoy seguro de lo que se me está pidiendo hacer.

Supongamos que la declaración $((P\land Q)\lor R)\Rightarrow(R\lor S)$ es falsa. Encuentra los valores de verdad de dichas variables.

En inglés, creo que lo anterior afirma que decir que "si P y Q o R, entonces R o S" es falso. ¿Se me está pidiendo encontrar qué combinaciones de P, Q, R y S satisfacen la declaración anterior, o algo completamente diferente?

Pido disculpas de antemano por recurrir a hacer una pregunta de tarea en MSE, pero es la única que no he terminado y me gustaría saber cómo abordar una pregunta como esta si llegara a estar en un examen mañana.

Answer 1

No te preocupes, yo también tuve problemas con esto y Math SE me ofreció buenas soluciones, así que te daré la misma ayuda a ti.

$((P \wedge Q) \vee R) \Longrightarrow (R \vee S)$ es falso cuando $((P \wedge Q) \vee R)$ es verdadero y $(R \vee S)$ es falso. Y $((P \wedge Q) \vee R)$ es verdadero cuando P y Q son verdaderos y cuando R es verdadero o falso. Así que si toda la declaración es falsa, entonces $(R \vee S)$ es falso, por lo que $R$ debe ser falso y $S$ también es falso.

y obtienes

   T                  F

$((P \wedge Q) \vee R) \Longrightarrow (R \vee S)$

Toda la declaración es falsa

Porque:

\begin{array}{C|C} p & q & p \Longrightarrow q \\ \hline T & T & T\\ T & F & F\\ F & T & T\\ F & F & T \end{array}

Answer 2

Dado que estás haciendo pruebas:

$((P \land Q) \lor R) \to (R \lor S) \equiv$

$(R \lor S) \lor \lnot ((P \land Q) \lor R) \equiv$

$(R \lor S) \lor (\lnot (P \land Q) \land \lnot R) \equiv$

$(R \lor S) \lor ((\lnot P \lor \lnot Q) \land \lnot R) \equiv$

$(R \lor S \lor \lnot P \lor \lnot Q) \land (R \lor S \lor \lnot R) \equiv$

$(R \lor S \lor \lnot P \lor \lnot Q) \equiv$

$\lnot (\lnot R \land \lnot S \land P \land Q)$

Es falso precisamente cuando $\lnot R$, $\lnot S$, $P$ y $Q$. Encuentro que hay frecuentemente una forma fácilmente interpretable para la mayoría de las declaraciones lógicas en algún momento del proceso de conversión a CNF o DNF.