$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}$ igual a $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$ porque $x$ y $\sin x$ tienden tanto a $0$ para ${x\to 0}$

Question

Estoy atrapado en este límite:

$$\lim_{x\to 0}\frac{x(e^x-1)}{\cos x-1}$$

Traté de resolverlo usando límites especiales, así que:

$$\lim_{x\to 0}\frac{x(e^x-1)}{\cos x-1}=$$

$$=\lim_{x\to 0}(e^x-1)\frac{x(\cos x+1)}{(\cos x-1)(\cos x+1)}=$$

$$=\lim_{x\to 0}-\frac{x}{\sin^2 x}(e^x-1)(\cos x+1)=$$

$$=\lim_{x\to 0}-\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{e^x-1}{\sin x}\cdot(\cos x+1)$$

Sé que $\lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)=1$

También conozco el límite especial $\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)=1$

Mi pregunta es: ¿puedo pretender $\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^x-1}{\sin x}\right)$ igual a $\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)$ porque $x$ y $\sin x$ tienden tanto a $0$ para ${x\to 0}$ ?

Si no, ¿cómo puedo resolver mi límite, sin series o algo difícil?

Gracias.

Answer 1

Sí, se puede decir que $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{\sin x}$ igual a $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}$ pero no sólo porque $x$ y $\sin x$ tienden tanto a $0$ para ${x\to 0}$ No obstante, esto no es suficiente.

Puedes escribir $$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{\sin x}\frac xx=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}x\frac x{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}x\lim_{x\to 0}\frac x{\sin x}.$$

Ahora se obtiene la equivalencia de

$$\lim_{x\to 0}\frac x{\sin x}=1.$$

Esto se justifica por la propiedad de que el límite de un producto es el producto de los límites, siempre que existan.

Answer 2

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { x\left( { e }^{ x }-1 \right) }{ \cos { x } -1 } = } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { x }^{ 2 }\left( { e }^{ x }-1 \right) }{ x\left( \cos { x } -1 \right) } = } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \left( { e }^{ x }-1 \right) }{ x } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ -2\sin ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } } = } } \\ =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \left( { e }^{ x }-1 \right) }{ x } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ -2\sin ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } } = } } -\frac { 1 }{ 2 } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \left( { e }^{ x }-1 \right) }{ x } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 4 }{ { \left( \frac { \sin { \frac { x }{ 2 } } }{ \frac { x }{ 2 } } \right) }^{ 2 } } = } } -2$$

Answer 3

Si $\lim_{x\to0}f(x)=0$ y $\lim_{x\to0}g(x)=0$ que $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ . Esta es la regla de L'Hospital.

Utiliza eso para tu límite: $$\lim_{x\to0}\frac{x(e^x-1)}{\cos x-1}$$ $$f(x)=x(e^x-1)$$ $$f'(x)=(x+1)e^x-1$$ $$g(x)=\cos x-1$$ $$g'(x)=-\sin x$$ $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ $$\lim_{x\to0}\frac{x(e^x-1)}{\cos x-1}=\lim_{x\to0}\frac{(x+1)e^x-1}{-\sin x}$$ Vuelve a usar la regla: $$f''(x)=(x+2)e^x$$ $$g''(x)=-\cos x$$ $$\lim_{x\to0}\frac{x(e^x-1)}{\cos x-1}=\lim_{x\to0}\frac{(x+1)e^x-1}{-\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{(x+2)e^x}{-\cos x}$$ $$\lim_{x\to0}\frac{(x+2)e^x}{-\cos x}=\frac{(0+2)e^0}{-\cos 0}=-2$$